Question

4．如圖所示，現(xiàn)在有一個(gè)小物塊，質(zhì)量為0.8kg，帶上正電荷q=2×10^-3C與水平絕緣軌道之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，在一個(gè)水平向左的勻強(qiáng)電場中E=3×10³V/m，在水平軌道的末端N處，連接一個(gè)光滑的半圓形絕緣軌道，半徑為R=40cm．
（1）小物塊恰能夠運(yùn)動(dòng)到軌道的最高點(diǎn)，那么小物塊應(yīng)該從水平那個(gè)位置釋放？
（2）如果在上小題的位置釋放小物塊，求它在圓弧軌道段的最大動(dòng)能．
（3）同位置釋放，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)是，突然撤去電場，加一磁場B=2T，垂直紙面向里，能否運(yùn)動(dòng)到L點(diǎn)？如果最后能運(yùn)動(dòng)到水平面的MN之間，則剛到MN之間時(shí)速度多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物塊恰好通過軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．從物塊釋放到運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過程中，重力做功-2mgR，電場力做功qEs，滑動(dòng)摩擦力做功-μmgs，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊釋放位置到N點(diǎn)的距離s．
（2）小物塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)的過程中，受到重力、電場力和支持力的作用，其中重力和電場力對(duì)小物塊做功，支持力不做功，當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)至沿重力、電場力的合力的方向的半徑的位置時(shí)，小物塊的動(dòng)能最大．以物塊為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理即可求出小物塊的最大動(dòng)能．
（3）假設(shè)物塊能到達(dá)最高，此過程只有重力做功，物塊的機(jī)械能守恒，速度等于沒有磁場時(shí)的速度，但物塊受到向下的洛倫茲力，提供的向心力大于所需要的向心力，物塊不能到達(dá)最高點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)到MN水平面的時(shí)，重力作功為0，洛倫磁力作功為0，根據(jù)動(dòng)能定理求解運(yùn)動(dòng)能到水平面MN上速度．

解答 解：（1）物塊能通過軌道最高點(diǎn)的條件是
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得到v=2m/s 
從物塊釋放到運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
   qEs-μmgs-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)解得s=2m；
（2）小物塊受到重力、電場力和支持力的作用，其中重力和電場力對(duì)小物塊做功，當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)至沿重力、電場力的合力的方向的半徑的位置時(shí)，小物塊的動(dòng)能最大，設(shè)重力、電場力的合力的方向與豎直方向之間的夾角是θ，則：$tanθ=\frac{qE}{mg}=\frac{2×1{0}^{-3}×3×1{0}^{3}}{0.8×10}=\frac{3}{4}$
所以：θ=37°
由動(dòng)能定理得$qEs-μmgs+qER•sinθ-mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=8.8$J；
（3）同位置釋放，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)是，突然撤去電場，小物塊在N點(diǎn)的速度v_N：qEs-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-0$
假設(shè)能到最高點(diǎn)，物塊速度仍然為v=2m/s，除重力以外還受到洛倫磁力的作用，根據(jù)左手定則可知，在最高點(diǎn)的洛倫茲力的方向向上，提供的向心力小于圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力．所以小物塊能到達(dá)最高點(diǎn)．
運(yùn)動(dòng)到MN水平面的時(shí)，重力作功為0，洛倫磁力作功為0，設(shè)速度為v_N．
根據(jù)能量守恒得 Eqs=μmgs+$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得v_N=2$\sqrt{5}$m/s；
答：（1）小物塊能夠運(yùn)動(dòng)到軌道的最高點(diǎn)，小物塊應(yīng)該從水平面上距離N點(diǎn)2m的位置釋放；
    （2）物塊在圓弧軌道段的最大動(dòng)能是8.8J；
    （3）同位置釋放，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，突然撤去電場，加一磁場B=2T，垂直紙面向里，不能運(yùn)動(dòng)到L點(diǎn)．運(yùn)動(dòng)能到水平面MN之間時(shí)的速度2$\sqrt{5}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題通過豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)考查動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，題目較長，但過程不復(fù)雜，只要耐心和細(xì)心，不應(yīng)出錯(cuò)．