Question

如圖1所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，MN、PQ是相互平行的粗糙的長直導(dǎo)軌，處于同一水平面內(nèi)，其間距L=0.2m，R是連在導(dǎo)軌一端的電阻，ab是跨接在導(dǎo)軌上質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒，從零時(shí)刻開始，通過一小型電動(dòng)機(jī)對ab棒施加一個(gè)牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做加速運(yùn)動(dòng)，此過程中棒始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，圖2是棒的速度一時(shí)間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動(dòng)機(jī)在12s末達(dá)到額定功率，P額=4.5W，此后功率保持不變，除R以外，其余部分的電阻均不計(jì)，g=10m/s²．
（1）求導(dǎo)體棒在0-12s內(nèi)的加速度大�。�
（2）求導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)及電阻R的阻值；
（3）若已知0-12s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量為12.5J，則此過程中牽引力的沖量為多少？牽引力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）由乙圖知：導(dǎo)體棒在0-12s內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點(diǎn)：由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達(dá)式；圖中C點(diǎn)：導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件再得到含μ和R的表達(dá)式，聯(lián)立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內(nèi)導(dǎo)體棒發(fā)生的位移，由動(dòng)量定理，結(jié)合速度可求出過程中沖量；根據(jù)功的表達(dá)式，可求出引力做功．

解答：解：（1）由圖中可得：12s末的速度為：v₁=9m/s，t₁=12s
導(dǎo)體棒在0.12s內(nèi)的加速度大小為：a=

v1-0

t1

=

9-0

12

=0.75m/s²．
（2）設(shè)金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)金屬棒的速度為v時(shí)，安培力大小為F，則有：
F=BIL，I=

BLv

R

得：F=

B2L2v

R

A點(diǎn)：由牛頓第二定律得：
F₁-μmg-

B2L2v1

R

=ma₁
又P_額=F₁v₁．
C點(diǎn)：棒達(dá)到最大速度：F₂-μmg-

B2L2vm

R

=0
P_額=F₂v_m．
聯(lián)立解得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）12s時(shí)，棒的速度為9m/s，根據(jù)動(dòng)量定理，則有：（F-f-F_安）t=mv-0；
而F_安=BIL
感應(yīng)電動(dòng)勢，E=BLv
感應(yīng)電流，I=

E

R

因此安培力綜合表達(dá)式，F(xiàn)_安=

B2L2v

R

，由于速度均勻增大，則取平均值代入上式，
則有：I=Ft=mv+ft+

.

F

_安t=0.1×9+（0.2×0.1×10+

0．52×0．22× 9 2

0.4

）×12=4.65N?s；
0-12s內(nèi)導(dǎo)體棒發(fā)生的位移為：s₁=

1

2

×9×12m=54m，
此過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，則有：W_F-W_f-W_安=

1

2

mv2-0
而Q=-W_安
所以，W_F=μmg?s+Q+

1

2

mv2=10.8+12.5+4.05J=27.35J；
答：（1）求導(dǎo)體棒在0-12s內(nèi)的加速度大小是0.75m/s²；
（2）導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.2，電阻R的阻值是0.4Ω；
（3）則此過程中牽引力的沖量為4.65N?s；牽引力做的功為27.35J．

點(diǎn)評：本題與汽車勻加速起動(dòng)類似，關(guān)鍵會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式F=

B2L2v

R

，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結(jié)合進(jìn)行求解，并掌握動(dòng)量定理與動(dòng)能定理的應(yīng)用，注意動(dòng)量的矢量性，與功的正負(fù)值．