Question

有一半徑為的圓柱A，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸．現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同，半徑為的較細(xì)圓柱B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手．己知圓柱A與地面的靜摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數(shù)為0.30．若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問(wèn)圓柱B與墻面間的靜摩擦系數(shù)和圓柱B的半徑的值各應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

放上圓柱B后，圓柱B有向下運(yùn)動(dòng)的傾向，對(duì)圓柱A和墻面有壓力。圓柱A傾向于向左運(yùn)動(dòng)，對(duì)墻面沒(méi)有壓力。平衡是靠各接觸點(diǎn)的摩擦力維持的�，F(xiàn)設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，取圓柱A受地面的正壓力為，水平摩擦力為；圓柱B受墻面的正壓力為，豎直摩擦力為，圓柱A受圓柱B的正壓力為，切向摩擦力為；圓柱B受圓柱A的正壓力為，切向摩擦力為，如圖復(fù)解20-5所示。各力以圖示方向?yàn)檎�方向�?/p>

已知圓柱A與地面的摩擦系數(shù)＝0.20，兩圓柱間的摩擦系數(shù)＝0.30。設(shè)圓柱B與墻面的摩擦系數(shù)為，過(guò)兩圓柱中軸的平面與地面的交角為。

設(shè)兩圓柱的質(zhì)量均為，為了求出、、以及為保持平衡所需的、、之值，下面列出兩圓柱所受力和力矩的平衡方程：

圓柱A：                               （1）

                                （2）

                                （3）

圓柱B：                               （4）

                                     （5）

                               （6）

由于，所以得

                          （7）

式中代表，，和的大小。又因，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成為：

                   （8）

                                        （9）

                                   （10）

                       （11）

以上四式是，，和的聯(lián)立方程，解這聯(lián)立方程可得

                                                           （12）

                                            （13）

                                         （14）

                                           （15）

式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡時(shí)所需要的力，，，沒(méi)有問(wèn)題，但，，三個(gè)力能不能達(dá)到所需要的數(shù)值，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系數(shù)的制約。三個(gè)力中只要有一個(gè)不能達(dá)到所需的值，在那一點(diǎn)就要發(fā)生滑動(dòng)而不能保持平衡。

首先討論圓柱B與墻面的接觸點(diǎn)。接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)要求

                        

由式（12），得

所以

                               （16）

再討論圓柱A與地面的接觸點(diǎn)的情形。按題設(shè)此處的摩擦系數(shù)為＝0.20，根據(jù)摩擦定律，若上面求得的接地點(diǎn)維持平衡所需的水平力滿(mǎn)足，則圓柱在地面上不滑動(dòng)；若，這一點(diǎn)將要發(fā)生滑動(dòng)。

圓柱A在地面上不發(fā)生滑動(dòng)的條件是

                                      （17）

由圖復(fù)解20-5可知

                                                       （18）

                     （19）

由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，可以求得

                                                          （20）

即只有當(dāng)時(shí)，圓柱A在地面上才能不滑動(dòng)。

最后討論兩圓柱的接觸點(diǎn)。接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)要求

                                              （21）

由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得

                                                  （22）

顯然，在平衡時(shí)，的上限為�？偨Y(jié)式（20）和式（22），得到滿(mǎn)足的條件為

                                （23）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題22分。

求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。