Question

【題目】如圖所示，在真空中，半環(huán)狀 MAQPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T。外環(huán)的半徑R1=16cm，內(nèi)環(huán)的半徑R2=4cm，外環(huán)和內(nèi)環(huán)的圓心為O，MOQ水平，沿OQ放置有照相底片。有一線狀粒子源放在MN正下方(圖中未畫出)，不斷放出初速度均為v0=1.6×106m/s的同種正粒子，并通過MN沿與磁場垂直的方向豎直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，最后打到照相底片上，經(jīng)檢驗(yàn)底片上僅有PQ區(qū)域均被粒子打到。不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計(jì)。

(1)求粒子的比荷；

(2)若照相底片沿OA放置，求底片上被粒子打到的區(qū)域的長度；

(3)撤去線狀粒子源和照相底片，若該粒子垂直進(jìn)入磁場的速度大小和方向可以任意改變�，F(xiàn)要求該粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場，從Q點(diǎn)離開磁場(該粒子中途未離開磁場區(qū)域)，而且在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，求該粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度大小以及速度方向與MN夾角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）（2）2cm（3）5.44×106 m/s； （或0.47）

【解析】

（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出粒子的比荷。

（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識求出區(qū)域長度。

（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子的最大軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出速度大小與方向。

（1）如圖所示，設(shè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半為R，則由牛頓第二定律有 ①

依題意有 ②

聯(lián)立①②代入數(shù)據(jù)解得 ③

（2）若照相底片沿OA放置，則底片上被粒子打到的區(qū)域長度為CD的長度，如圖所示。在△O1OC中，由勾股定理有 ④

CD = R–OC ⑤

聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得CD = 2cm ⑥

（3）要使該粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場，從Q點(diǎn)離開磁場，且在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，則圓弧所對的圓心角應(yīng)最小，因弦長一定，則圓弧的半徑應(yīng)最大，即滿足要求的圓弧應(yīng)與內(nèi)環(huán)相切，如圖所示。設(shè)粒子的半徑為Rm，速度大小為v，速度方向與MN夾角為θ，由牛頓第二定律有

⑦

由圖中幾何關(guān)系有 ⑧

⑨

聯(lián)立③⑦⑧⑨代入數(shù)據(jù)解得 v = 5.44×106 m/s

（或0.47）