(2012?長寧區(qū)二模)水平地面上有一個(gè)半徑為R的圓形軌道,豎直平面上邊中點(diǎn)P離地面高為h,P正下方一點(diǎn)P′位于COA連線上且與軌道圓心O的距離為L(L>R),如圖所示.現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出質(zhì)量為m的小沙袋,使其擊中軌道上的小車(沙袋與小車均視為質(zhì)點(diǎn),空氣阻力不計(jì)).求:
(1)小車停在軌道B點(diǎn)時(shí)(∠AOB=90°),沙袋拋出后經(jīng)多長時(shí)間擊中小車?擊中時(shí)動(dòng)能多大?
(2)若小車勻速圓周運(yùn)動(dòng)順時(shí)針經(jīng)A點(diǎn)時(shí)沙袋拋出,為使沙袋能在B處擊中小車,小車的速率v應(yīng)滿足的條件.
(3)若在P、C之間以水平射程為(L+R)的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡制成一光滑軌道,小沙袋從頂點(diǎn)P由靜止下滑擊中C點(diǎn)小車時(shí)水平速度多大?
分析:(1)沙袋從P點(diǎn)開始做的都是平拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng),可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,根據(jù)動(dòng)能定理可以求得擊中時(shí)的動(dòng)能;
(2)根據(jù)等時(shí)性可以求得小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,但是要注意周期性,再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的速度公式即可求解;
(3)下滑過程沙袋的機(jī)械能守恒,根據(jù)機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系即可求解.
解答:解:(1)沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)它的落地時(shí)間為t,則
h=
1
2
gt2

解得:t=
2h
g

拋到B點(diǎn)發(fā)生的水平位移為S=
L2+R2

所以h=
1
2
g
L2+R2
v02
  
由動(dòng)能定理得mgh=EkB-
1
2
mv02,
從中解得EkB=mgh+
mg(L2+R2)
4h

(2)根據(jù)時(shí)間相等的條件t=
T
4
+nT=
2h
g

小車速度v=
2πR
T

求得v=
1+4n
2
πR
g
2h
  (n=0,1,2,…)  
(3)下滑過程沙袋的機(jī)械能守恒,mgh=
1
2
mvc2,
解得 vc=
2h
g
   
設(shè)vC與水平方向夾角為θ,沙袋的水平速度vcx=vccosθ
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得tanθ=
vy
vx
=
2y
x
,即cosθ=
x
4y2+x2

所以vc=(L+R)
2gh
4h2+(L+R)2

答:(1)小車停在軌道B點(diǎn)時(shí)(∠AOB=90°),沙袋拋出后經(jīng)
2h
g
擊中小車,擊中時(shí)動(dòng)能為mgh+
mg(L2+R2)
4h
;
(2)若小車勻速圓周運(yùn)動(dòng)順時(shí)針經(jīng)A點(diǎn)時(shí)沙袋拋出,為使沙袋能在B處擊中小車,小車的速率v應(yīng)滿足v=
1+4n
2
πR
g
2h
  (n=0,1,2,…);
(3)若在P、C之間以水平射程為(L+R)的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡制成一光滑軌道,小沙袋從頂點(diǎn)P由靜止下滑擊中C點(diǎn)小車時(shí)水平速度為L+R)
2gh
4h2+(L+R)2
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的考查,在分析第二問的時(shí)候,要考慮到小車運(yùn)動(dòng)的周期性,小車并一定是經(jīng)過
1
4
圓周,也可以是經(jīng)過了多個(gè)圓周之后再經(jīng)過
1
4
圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn),這是同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常忽略而出錯(cuò)的地方.
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