Question

為了解決高樓救險中云梯高度不夠高的問題，可在消防云梯上再伸出輕便的滑桿。如圖為一次消防演習中模擬解救被困人員的示意圖，被困人員使用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上、沿滑桿下滑到消防云梯上逃生。為了安全，被困人員滑到云梯頂端的速度不能太大，通常滑桿由AO、OB兩段直桿通過光滑轉(zhuǎn)軸在O處連接，滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，且可繞固定物自由轉(zhuǎn)動，B端用鉸鏈固定在云梯上端，且可繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動，以便調(diào)節(jié)被困人員滑到云梯頂端的速度大小。設被困人員在調(diào)整好后的滑桿上下滑時滑桿與豎直方向的夾角保持不變，被困人員可看作質(zhì)點、不計過O點時的機械能損失。已知AO長L₁ = 6m、OB長L₂ = 12m、豎直墻與云梯上端點B的水平距離d = 13.2m，被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO間、滑桿OB間的動摩擦因數(shù)均為μ= 5/6。被困人員到達云梯頂端B點的速度不能超過6m／s，取g=10m/s²。

（1）現(xiàn)測得OB與豎直方向的夾角為53^o，請分析判斷被困人員滑到B點是否安全。（sin37^o=0.6, cos37^o=0.8）

（2）若云梯頂端B點與豎直墻間的水平距離保持不變，求能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離。（結果可用根式表示） 

Answer 1

（1）設OA、OB與豎直方向的夾角分別為，由幾何關系；

d=L₁sin+L₂sin(1分)       =37°(1分)

由牛頓第二定律：mgcos-mgsin=ma₁     a₁=3m/s²(1分)

                V₀²=2a₁L₁(1分)           V₀=6m/s

mgcos-mgsin=ma₂(1分)    a₂=-2/3m/s²(1分)

V_B²-V₀²=2（a₂）L₂（1分）    V_B=2m/s(1分)

因V_B<6m/s,被困人員能安全到達云梯頂端B點。（1分）

（2）設滑桿兩端點AB的最大豎直距離為h，對被困人員下滑全過程由動能定理得：

(1分)

(1分)

     (1分)

若兩桿伸直，AB間的豎直高度為：

（1分)       （1分）

所以能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離應為。（1分）