Question

美國(guó)航空航天局和歐洲航空航天局合作研究的“卡西尼”號(hào)土星探測(cè)器，在美國(guó)東部時(shí)間2004年6月30日（北京時(shí)間7月1日）抵達(dá)預(yù)定軌道，開始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族．“卡西尼”號(hào)探測(cè)器進(jìn)入繞土星飛行的軌道，先在半徑為R的圓形軌道Ⅰ上繞土星飛行，運(yùn)行速度大小為v₁．為了進(jìn)一步探測(cè)土星表面的情況，當(dāng)探測(cè)器運(yùn)行到A點(diǎn)時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)向前噴出質(zhì)量為△m的氣體，探測(cè)器速度大小減為v₂，進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道Ⅱ，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)再一次改變速度，然后進(jìn)入離土星更近的半徑為r的圓軌道Ⅲ，如圖所示．設(shè)探測(cè)器僅受到土星的萬有引力，不考慮土星的衛(wèi)星對(duì)探測(cè)器的影響，探測(cè)器在A點(diǎn)噴出的氣體速度大小為u．求：

（1）探測(cè)器在軌道Ⅲ上的運(yùn)行速率v₃和加速度的大小；

（2）探測(cè)器在A點(diǎn)噴出的氣體質(zhì)量△m．

Answer 1

（1），；（2）

解析:

（1）在軌道I上，探測(cè)器m所受萬有引力提供向心力，設(shè)土星質(zhì)量為M，則有

同理，在軌道Ⅲ上有

由上兩式可得

探測(cè)器在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)加速度設(shè)為a，則

解得

（2）探測(cè)器在A點(diǎn)噴出氣體前后，由動(dòng)量守恒定律，得mv₁=(m－△m)v₂＋△mv

解得