【答案】
分析:(1)設(shè)帶電粒子自
A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場(chǎng)時(shí)的速度用
v表示,進(jìn)入磁場(chǎng)后,在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng),并從內(nèi)筒表面上的
A1點(diǎn)射出磁場(chǎng),射出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小仍為
v,方向沿過
A1點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑方向,如圖所示.粒子自
A1射出磁場(chǎng)后便進(jìn)入兩圓筒間的電場(chǎng)中,在電場(chǎng)力的作用下,粒子做減速直線運(yùn)動(dòng),剛到達(dá)外圓筒的內(nèi)壁時(shí),速度恰好減至零.然后粒子又在電場(chǎng)力作用下向
A1點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng),回到時(shí),粒子速度增大到
v,并以此速度沿圓筒內(nèi)圓半徑方向第二次進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下,粒子又做圓周運(yùn)動(dòng),并從
A2點(diǎn)射出磁場(chǎng).此后,粒子又再一次在電場(chǎng)中減速,到達(dá)外壁時(shí)調(diào)轉(zhuǎn)方向加速回到
A2點(diǎn),從
A2點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),再做圓周運(yùn)動(dòng)并從
A3點(diǎn)射出磁場(chǎng).這一過程多次重復(fù)到最后,粒子再次從
A點(diǎn)射出磁場(chǎng).要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)再次到達(dá)A點(diǎn),軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小,且在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)的次數(shù)最少,可知,粒子進(jìn)入電場(chǎng)兩次,根據(jù)軌跡的形狀和幾何知識(shí)求出軌跡的半徑,由牛頓第二定律求解速度,根據(jù)軌跡的圓心角求時(shí)間.
(2)要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn),設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)共n次,由幾何知識(shí)求出軌跡半徑,由牛頓第二定律求得其速率,再根據(jù)動(dòng)能定理求出電壓應(yīng)滿足的條件.
解答:解:(1)
設(shè)帶電粒子自
A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場(chǎng)時(shí)的速度用
v表示,進(jìn)入磁場(chǎng)后,在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)粒子第三次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小,所用時(shí)間最短,由幾何知識(shí)得:此時(shí)軌跡的圓心角φ=180°-120°=60°
則軌跡半徑為 r=Rtan60°=
R
根據(jù)牛頓第二定律得:qvB=m
聯(lián)立解得,v=
運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t
min=3×
T=
=
(2)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,從
A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從
A1點(diǎn)射出磁場(chǎng)繞圓心
o’轉(zhuǎn)過的角度為
Ф,過
A點(diǎn)和
A1點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑對(duì)其軸線
o的張角為
θ,如圖所示.有 Φ+θ=π ①
要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn),若粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過
n次偏轉(zhuǎn)后能從
A點(diǎn)射出磁場(chǎng),應(yīng)滿足條件
nθ=2π ②(n=3,4,5…)
解得θ=
③
連結(jié)圖中的OO′,由直角三角形AOO′可得:tan
=
④
因
r是粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑,有r=
⑤
由③④⑤式得到粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=
tan
⑥
設(shè)加在兩圓筒間的電壓為U,由能量守恒有
qU=
⑦
由⑥⑦解得,U=
(n=3,4,5…)
答:
(1)要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)再次到達(dá)A點(diǎn),粒子的速度應(yīng)是
,再次到達(dá)A點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是
.
(2)要使粒子在磁場(chǎng)中圍繞圓筒的軸線O運(yùn)動(dòng)一周時(shí)恰能返回A點(diǎn),則內(nèi)、外筒之間的電壓需滿足條件是U=
(n=3,4,5…).
點(diǎn)評(píng):本題是有界磁場(chǎng)的問題,要充分運(yùn)用幾何知識(shí)畫出軌跡、分析和求解軌跡半徑和圓心角,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力,難度較大.