Question

5．如圖甲所示，定滑輪上繞一細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為M的重物，另一端系一質(zhì)量為m的金屬棒ab．金屬棒ab放在兩根間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的光滑平行的金屬導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌處在水平面內(nèi)，在兩導(dǎo)軌左端之間連接有阻值為R的電阻，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌和金屬棒放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的方向豎直向上．開(kāi)始時(shí)金屬桿置于靠近導(dǎo)軌左端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終與兩導(dǎo)軌垂直且接觸良好．已知重力加速度為g．

（1）求重物勻速下降時(shí)的速度大��；
（2）當(dāng)M勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，突然剪斷細(xì)線，金屬棒繼續(xù)沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑行了一段距離s后停止，求此過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)體棒橫截面上的電量；
（3）對(duì)一定的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，重物取不同的質(zhì)量M，測(cè)出相應(yīng)的重物做勻速下降運(yùn)動(dòng)時(shí)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖線如圖乙所示，圖中畫出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線．試根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時(shí)，受重力和拉力而平衡，而桿受拉力、重力、支持力和安培力而平衡；根據(jù)切割公式、歐姆定律和安培力公式列式得到速度大小；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求解平均感應(yīng)電流，再根據(jù)電流的定義求解電荷量；
（3）根據(jù)第（1）問(wèn)求得結(jié)果得到v-M圖象的斜率的表達(dá)式進(jìn)行分析即可．

解答 解：（1）設(shè)當(dāng)重物M勻速下降時(shí)的速度為v，則產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv，
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$，
金屬桿受到的安培力F_安=BIL，
對(duì)于金屬桿受力平衡，有：F=F_安，
對(duì)于重物M，有：F′=Mg，
而F=F′，
聯(lián)立解得：v=$\frac{MgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）設(shè)通過(guò)金屬桿的電量為q，則有：
q=$\overline{I}$t，
$\overline{I}$=$\frac{BL\overline{v}}{R}$，
s=$\overline{v}$t，
聯(lián)立解得：q=$\frac{BLs}{R}$；
（3）根據(jù)第（1）問(wèn)求得結(jié)果可知，v-M圖象的斜率為k=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
由圖乙可得k₁=$\frac{8}{5}m/s•kg$，
k₂=$\frac{9}{10}m/s•kg$，
$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{3}{4}$；
答：（1）重物勻速下降時(shí)的速度大小為$\frac{MgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當(dāng)M勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，突然剪斷細(xì)線，金屬棒繼續(xù)沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑行了一段距離s后停止，此過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)體棒橫截面上的電量為$\frac{BLs}{R}$；
（3）比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中運(yùn)用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的斜率，得到B₁和B₂的比值．