Question

18．2006年我國將完成“嫦娥奔月工程”．據(jù)介紹，“嫦娥奔月工程”分為“環(huán)繞、降落、返回”三個階段實施，第一階段，將發(fā)射月球探測衛(wèi)星環(huán)月飛行，進行遙感探測；第二階段，探測器將在月球“軟著陸”，我國第一個高90cm質(zhì)量35kg的月球機器人--“喀嗎哆”將登落月球，安放炸彈實現(xiàn)月巖爆破；采集回收礦物質(zhì)標本；尋找水或冰存在的證據(jù)等；第三階段，將超越神話中的“嫦娥”，不僅上得去，還要順利返回地面．求：
①設(shè)繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約約為多大？
②在探測器著陸的最后階段，著陸器降落在月球表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．假設(shè)著陸器第一次落到月球表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，求它在第二次落到月球表面時速度的大�。�計算時不計大氣阻力．已知月球某一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，月球可視為半徑為r₀的均勻球體．
③當“嫦娥1號”飛船返回艙降落距地面100m髙度時，速度為10m/s，回收著陸系統(tǒng)啟動，拉出主傘，主傘展開面積足夠大，由于空氣阻力作用有一段豎直減速下落過程，若空氣阻力與速度平方成正比，即f=kv²（k為比例系數(shù)）并已知返回艙的質(zhì)量為3×10³kg（傘的質(zhì)量忽略不計），這一過程最終豎直勻速下降時的收尾速度為8m/s，求在這一過程中空氣阻力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度．探月衛(wèi)星貼近月球表面，運行的速率即為月球的第一宇宙速度．根據(jù)月球質(zhì)量和地球質(zhì)量的關(guān)系，月球半徑和地球半徑的關(guān)系，根據(jù)第一宇宙速度的表達式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的關(guān)系，從而求出月球的第一宇宙速度大�。�
（2）在月星表面，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式．研究衛(wèi)星繞月星做圓周運動，向心力由萬有引力提供列出等式．根據(jù)平拋運動規(guī)律解決問題；
（3）根據(jù)動能定理即可求解．

解答 解：①根據(jù)萬有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
已知月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，
地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，
月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度之比是$\frac{2}{9}$，則月球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{2}{9}$倍，大約1.76km/s．
②解：對火星表面的某一物體，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$G\frac{Mm}{{{r}_{0}}^{2}}$=mg
對飛船做圓周運動的向心力由萬有引力提供得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
著陸器從最高點到第二次落到火星表面做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律解得：
v_x=v₀
v_y²=2gh
v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$
由以上各式解得：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{{r}_{0}}^{2}{T}^{2}}}$
③對整個過程，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgh+{W}_{f}$
解得：W_f=-3.054×10⁶J
答：①該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約約為1.76km/s；
②它在第二次落到月球表面時速度的大小為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{{r}_{0}}^{2}{T}^{2}}}$；
③在這一過程中空氣阻力做的功為-3.054×10⁶J．

點評 要求解一個物理量大小，我們應該把這個物理量先表示出來，再根據(jù)已知量進行求解，知道重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量，向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．