Question

3．如圖，傾角為30°的直角三角形底邊BC長(zhǎng)為2L，底邊BC處在水平位置上，斜邊AC是光滑絕緣導(dǎo)軌，現(xiàn)在底邊中點(diǎn)O處固定一正點(diǎn)電荷Q．讓一質(zhì)量為m的帶正電的質(zhì)點(diǎn)，從斜面頂端A處沿斜邊由靜止滑下（不脫離斜面）．測(cè)得它滑到點(diǎn)B在斜邊上的垂足D點(diǎn)處時(shí)的速度為v，加速度為a，方向沿斜面向下．
求：（1）點(diǎn)電荷Q在C處產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)；
（2）該質(zhì)點(diǎn)滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的加速度；
（3）該質(zhì)點(diǎn)滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的速度．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識(shí)分析得到B、C、D三點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一圓周上，三點(diǎn)的電勢(shì)相等，電荷q從D到C過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)滑到斜邊底端C點(diǎn)時(shí)的速度．分析質(zhì)點(diǎn)q在C點(diǎn)的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律和庫(kù)侖定律求出質(zhì)點(diǎn)滑到斜邊底端C點(diǎn)時(shí)加速度．

解答 解：
（1）點(diǎn)電荷Q在C處產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=$k\frac{Q}{{L}^{2}}$，
（2、3）由題，BD⊥AC，O點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，根據(jù)幾何知識(shí)得到B、C、D三點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一圓周上，三點(diǎn)在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中是等勢(shì)點(diǎn)，所以，q由D到C的過程中電場(chǎng)中電場(chǎng)力作功為零．
由動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
而h=$BDsin60°=\frac{\sqrt{3}L}{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gL}$．
質(zhì)點(diǎn)在D點(diǎn)受三個(gè)力的作用；電場(chǎng)F，方向由O指向D點(diǎn)；重力mg，方向豎直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上．由牛頓第二定律，有
mgsin30°-Fcos30°=ma…①
質(zhì)點(diǎn)在C受三個(gè)力的作用；電場(chǎng)F，方向由O指向C點(diǎn)；重力mg，方向豎直向下；支持力N，方向垂直于斜面向上．由牛頓第二定律，有
mgsin30°+Fcos30°=ma_C…②
由①②得，a_C=g-a
答：（1）點(diǎn)電荷Q在C處產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為$k\frac{Q}{{L}^{2}}$；
（2）該質(zhì)點(diǎn)滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的加速度為g-a；
（3）該質(zhì)點(diǎn)滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的速度$\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題難點(diǎn)在于分析D與C兩點(diǎn)電勢(shì)相等，根據(jù)動(dòng)能定理求速度、由牛頓第二定律求加速度都常規(guī)思路．