Question

20．如圖所示，xOy坐標(biāo)系中，在y軸右側(cè)有一平行于y軸的邊界PQ，PQ左側(cè)和右側(cè)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和$\frac{B}{2}$的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直于xOy平面向里，y軸上有一點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為l，電荷量為q，質(zhì)量為m的帶正電粒子，以某一速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿x軸正方向射出，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t=$\frac{4πm}{3qB}$時(shí)恰好到達(dá)A點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力作用
（1）求邊界PQ與y軸的距離d和粒子從O點(diǎn)射出的速度大小v₀；
（2）若相同的粒子以更大的速度從原點(diǎn)O處沿x軸正方向射出，為使粒子能經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，粒子的速度大小應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先在左側(cè)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由入射方向可以確定在該磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸上，當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)一定角度后，進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)做同方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后在進(jìn)入左側(cè)恰好達(dá)到A點(diǎn)，由帶電粒子在兩邊磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間列出方程從而可以求出在右側(cè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角，結(jié)合周期公式和半徑公式、幾何關(guān)系可以求得邊界PQ與y軸的距離d和粒子從O點(diǎn)射出的速度大小v₀．
（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，當(dāng)帶電粒子速度增大時(shí)，其半徑也增大，表示出粒子在左側(cè)和右側(cè)運(yùn)動(dòng)一次在y軸上上移的距離y，要使帶電粒子能夠回到A點(diǎn)，則有l(wèi)=ny，把相應(yīng)的半徑公式代入就能求得速度的可能值．

解答 解：帶電粒子在左側(cè)和右側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別有：
    $q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$   $q{v}_{0}•\frac{B}{2}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{2}}$
  可得半徑：
   ${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$   且  r₂=2r₁
  由$T=\frac{2πr}{v}$  可得：
   ${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$    且   T₂=2T₁
（1）粒子射出后經(jīng)過(guò)時(shí)間為$t=\frac{4πm}{3qB}$  時(shí)恰好到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，
  設(shè)圖中圓弧DE對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為
    $\frac{θ}{360°}{T}_{2}$+$\frac{180°-θ}{360}{T}_{1}$=$\frac{4πm}{3qB}$
   解得：θ=60°
△C₁C₂C₃  為等邊三角形，幾何關(guān)系為
     l=2r₁+（r₂-r₁）
     d=r₁cos30°
  解得PQ與y軸的距離d和粒子從O點(diǎn)射出的速度大小v₀分別為
     $d=\frac{\sqrt{3}l}{6}$
    ${v}_{0}=\frac{qBl}{3m}$
（2）以更大速度射出的粒子，必然是從y軸較高點(diǎn)轉(zhuǎn)向下方時(shí)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，
  粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，設(shè)圖中∠C₃DF=α，則粒子運(yùn)
  動(dòng)一個(gè)周期在y軸上的位移y=2r₁+2（r₂-r₁）sinα-2r₁     （或y=2r₁sinα）
         $cosα=\fraceku6eys{{r}_{1}}$
  經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的條件是  ny=l    （n=1、2、3…）  解得
       v=$\frac{qBl}{2m}\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{{n}^{2}}}$     （n=1、2、3…）
  考慮到v＞v₀=$\frac{qBl}{3m}$，因此n只能取1或2  
  即粒子的速度大小為
       $v=\frac{qBl}{\sqrt{3}m}$   或v=$\frac{\sqrt{21}qBl}{12m}$
  （或v=$\frac{qBl}{2m}\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{{n}^{2}}}$      （n=1、2）
答：（1）求邊界PQ與y軸的距離d為$\frac{\sqrt{3}l}{6}$和粒子從O點(diǎn)射出的速度大小v₀為$\frac{qBl}{3m}$．
（2）若相同的粒子以更大的速度從原點(diǎn)O處沿x軸正方向射出，為使粒子能經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，粒子的速度大小應(yīng)為$v=\frac{qBl}{\sqrt{3}m}$或$\frac{\sqrt{21}qBl}{12m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的與從不同在于：①粒子在方向相同但大小不同的兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系，也就知道了半徑關(guān)系，由于進(jìn)入兩個(gè)磁場(chǎng)的速度方向不能突變，所以偏向角有一定關(guān)系，從而時(shí)間也有了一定的關(guān)系．②當(dāng)速度增大時(shí)，半徑也要增大，要使帶電粒子同樣能到達(dá)A點(diǎn)，則粒子在左、右兩側(cè)磁場(chǎng)中各偏轉(zhuǎn)一次向上上移的距離之和的整數(shù)倍等于OA長(zhǎng)．