Question

宇宙飛船以周期為T繞地球作圓周運(yùn)動時，由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，太陽光可看作平行光，宇航員在A點(diǎn)測出地球的張角為α，則（　�。�

• A．飛船繞地球運(yùn)動的線速度為

  2πR

  Tsin(α/2)

• B．飛船周期為T=

  2πR

  sin(α/2)

  R GMsin(α/2)

• C．一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T/T₀
• D．飛船每次“日全食”過程的時間為αT/（2π）

Answer 1

分析：宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動，由飛船的周期及半徑可求出飛船的線速度；同時由引力提供向心力的表達(dá)式，可列出周期與半徑及角度α的關(guān)系．當(dāng)飛船進(jìn)入地球的影子后出現(xiàn)“日全食”到離開陰影后結(jié)束，由地球的自轉(zhuǎn)時間與宇宙飛船的轉(zhuǎn)動周期，可求出一天內(nèi)飛船發(fā)生“日全食”的次數(shù)；所以算出在陰影里轉(zhuǎn)動的角度，即可求出發(fā)生一次“日全食”的時間．

解答：解：A：飛船繞地球勻速圓周運(yùn)動
∵線速度為v=

2πr

T

…①
又由幾何關(guān)系知sin(

θ

2

)=

R

r

…②
由①②解得：v=

2πR

Tsin(α/2)

，故A正確；
B：萬有引力提供向心力則：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

解得：T=

4π2r3 GM

=

2πR

sin(α/2)

R GMsin(α/2)

，故B正確；
C：地球自轉(zhuǎn)一圈時間為To，飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，得一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為，n=

T0

T

故C錯誤；
D：由幾何關(guān)系，飛船每次“日全食”過程的時間內(nèi)飛船轉(zhuǎn)過α角所需的時間為：t=

α

2π

T，故D正確．
故選：ABD

點(diǎn)評：該題要求能夠熟練掌握勻速圓周運(yùn)動中線速度、角速度及半徑的關(guān)系，同時理解萬有引力定律，并利用幾何關(guān)系得出轉(zhuǎn)動的角度．題目難度適中．