Question

7．傳送帶在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用，例如在港口用傳送帶運(yùn)輸貨物，在機(jī)場(chǎng)上用傳送帶將地面上的行李傳送到飛機(jī)上等．如圖所示的裝置中，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=4m的水平傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶d端與豎直光滑半圓形軌道相接，軌道半徑為R=2m，忽略傳送帶d端與軌道最高點(diǎn) c之間的縫隙寬度．將質(zhì)量為m的物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶左端．物塊經(jīng)傳送帶滑上半圓形軌道，且沿半圓形軌道滑到與半圓形軌道平滑連接的光滑水平軌道ab上，與靜止在ab上的質(zhì)量為M的物塊B發(fā)生彈性正碰，物塊A與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10 m/s²．求：
（1）要使物塊A不脫離半圓形軌道，傳送帶速度的最小值v；
（2）若傳送帶速度為v=10m/s，物塊A與物塊B第一次碰撞后能回到半圓形軌道上滑行時(shí)不脫離軌道，求物塊A與物塊B質(zhì)量的比$\frac{m}{M}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要使物塊A恰好不脫離半圓形軌道，在c點(diǎn)，由重力提供向心力，由此求得A點(diǎn)c點(diǎn)的最小速度．物塊A在傳送帶上加速時(shí)，由牛頓第二定律求得加速度，根據(jù)速度位移公式求出加速的距離，與傳送帶的長(zhǎng)度相比較，即可得到傳送帶速度的最小值v．
（2）物塊A與物塊B第一次碰撞后能回到半圓形軌道上滑行時(shí)不脫離軌道，有兩種情況：一種A能返回c點(diǎn)，另一種是A返回時(shí)上升的最大高度不超過(guò)半圓的半徑．先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A在傳送帶上加速獲得的速度，由動(dòng)能定理求得A滑到水平面上的速度，再由動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒列式，得到碰后A的速度，結(jié)合臨界條件求解．

解答 解：（1）要使物塊A不脫離軌道，則物塊A在c點(diǎn)時(shí)的最小速度滿足：
mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
物塊A在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=8m/s²．
則加速的距離為：
x=$\frac{{v}_{c}^{2}}{2a}$=$\frac{20}{2×8}$=1.25m＜L
故傳送帶速度的最小值為：v=v_c=2$\sqrt{5}$m/s
（2）若物塊A在傳送帶上一直加速，到達(dá)d端時(shí)的速度為：
v_d=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{2×8×4}$=8m/s
由于v_d＜v，故A到c點(diǎn)的速度為 v_d．
設(shè)物塊A到達(dá)水平面時(shí)速度為v₀．由動(dòng)能定理得：
2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{{v}_joapbhy^{2}+4gR}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=12m/s
要使物塊A碰撞后能回到半圓形軌道，則物塊A碰后速度方向向右，設(shè)碰撞后A的速度大小為v₁．B的速度為v₂．
取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²．
要使物塊不脫離軌道，則有：0＜v₁≤$\sqrt{2gR}$或v₁≥$\sqrt{4gR+{v}_{c}^{2}}$
聯(lián)立解得：
$\frac{13}{23+6\sqrt{10}}$≤$\frac{m}{M}$＜1或$\frac{m}{M}$≤$\frac{1}{11}$
答：（1）要使物塊A不脫離半圓形軌道，傳送帶速度的最小值v是2$\sqrt{5}$m/s．
（2）物塊A與物塊B質(zhì)量的比$\frac{m}{M}$的取值范圍是$\frac{13}{23+6\sqrt{10}}$≤$\frac{m}{M}$＜1或$\frac{m}{M}$≤$\frac{1}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是搞清物塊A的運(yùn)動(dòng)情況，抓住隱含的臨界狀態(tài)和臨界條件．要知道彈性碰撞遵守動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律．