Question

13．宇航員站在一星球表面上某高度處沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L；若僅將拋出時(shí)的高度變?yōu)樵瓉淼?倍，則拋出與落地點(diǎn)之間的距離變?yōu)?L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，設(shè)此星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）拋出時(shí)的初速度；
（2）該星球的密度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球上做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)表面的重力加速度為g，對兩次平拋運(yùn)動(dòng)應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)基本公式列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）求出重力加速度，再結(jié)合金代換GM=gR²可求的星球質(zhì)量，再根據(jù)密度等于質(zhì)量除以體積求解．

解答 解：（1）小球在星球上做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)表面的重力加速度為g，第一次平拋的水平位移和豎直高度分別為x₁和y₁，第二次平拋的水平位移和豎直高度分別為x₂和y₂，
所以有：x₁=v₀t，
${y_1}=\frac{1}{2}g{t^2}$，
可得：${x_1}={v_0}\sqrt{\frac{{2{y_1}}}{g}}$，
可知今將高度變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，${x_2}=\sqrt{2}{x_1}$，
由幾何知識(shí)可得：$x_1^2+y_1^2={L^2}$，
${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}={（3L）}^{2}$，
即$2{x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=9{L}^{2}$，
解得：${x_1}=\frac{L}{{\sqrt{2}}}$，${y_1}=\frac{L}{{\sqrt{2}}}$，
所以有：${v_0}=\frac{L}{{\sqrt{2}t}}$
（2）利用上式可得：$g=\frac{{\sqrt{2}L}}{t^2}$，
由黃金代換GM=gR²可得：$M=\frac{{\sqrt{2}L{R^2}}}{{G{t^2}}}$，
則密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4π}{3}{R}^{3}}=\frac{3\sqrt{2}L}{4πG{t}^{2}R}$．
答：（1）拋出時(shí)的初速度為$\frac{L}{\sqrt{2}t}$；
（2）該星球的密度為$\frac{3\sqrt{2}L}{4πG{t}^{2}R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題提供了利用重力加速度估測星球質(zhì)量的一種方法，利用平拋運(yùn)動(dòng)的分位移和合位移關(guān)系公式計(jì)算出重力加速度是關(guān)鍵．