Question

（2011?廣安二模）我國(guó)科學(xué)家在對(duì)放射性元素的研究中，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，以MN為界，左、右兩邊分別是電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且兩場(chǎng)區(qū)域足夠大．在距離界線為S處平行于MN固定一內(nèi)壁光滑的瓷管PQ，開(kāi)始時(shí)一個(gè)放射性元素的原子核處在管口P處，某時(shí)刻該原子核平行于界線的方向放出一質(zhì)量為m、帶電量-e的電子，發(fā)現(xiàn)電子在分界線處速度方向與界線成60°角進(jìn)入右邊磁場(chǎng)，反沖核在管內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)管另一端Q點(diǎn)時(shí)，剛好俘獲了這個(gè)電子而靜止．求：
（1）瓷管PQ的長(zhǎng)度1；（2）反沖核的質(zhì)量M．

Answer 1

分析：電子在電場(chǎng)內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)由平拋知識(shí)可求相關(guān)量，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，出磁場(chǎng)后做斜拋運(yùn)動(dòng)回到瓷管下端．

解答：解：由題意可畫(huà)得如圖所示電子運(yùn)動(dòng)軌跡．

（1）設(shè)電子在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，該速度分解為垂直MN方向v_y和沿MN方向v_x．
設(shè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，在垂直MN方向上，有：
v_y²=2aS        ①
v_y=at₁ 　　②
    a=

eE

m

  ③
①③式得vy=

2eEs m

　
　②③④式得t1=

2ms eE

         
 由此得   vx=vycot60°=

3

3

2eEs m

 ⑥
v=

vy

cos60°

=

2 3

3

2eEs m

     ⑦
沿MN軸的位移    x=vxt1=

2 3

3

           ⑧
設(shè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑為R，根據(jù)洛侖茲力做其圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
      evB=m

v2

R

               ⑨
解得：R=

mv

eB

=

2 3

3B

2mEs e

       ⑩
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期   T=

2πm

eB

       （11）
由圖可知電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為240°
故電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=

2

3

T=

4πm

3eB

        （12）
由圖的對(duì)稱性原理還可知：x+

1

2

=Rsin60°　 　  （13  ）
  聯(lián)立可得瓷管PQ的長(zhǎng)度  l=

2

B

2mEs e

-

4 3

3

S   （14 ）

（2）電子運(yùn)行的總時(shí)間：t=2t₁+t₂=2

2mS eE

+

4πm

3eB

  （15 ）

反沖核的速度V=

l

t

=

1

2 2mS eE + 4πm 3eB

                      （16 ）

核反應(yīng)時(shí)動(dòng)量守恒，有：mv_x-MV=0                     （17）

解得反沖核的質(zhì)量M=

mvx

v

=

4 3 m

3l

E

+

4 3 π

9Bl

2m3ES e

（18）

點(diǎn)評(píng)：本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解距離．