Question

6．在科學(xué)研究中，可以通過在適當(dāng)?shù)膮^(qū)域施加磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．豎直平行正對(duì)放置的兩金屬板A、K間有電壓為U的加速電場(chǎng)，S₁、S₂為A、K板上的兩個(gè)小孔，且S₁和S₂在同一水平直線上，如圖所示．質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從粒子源N右方的小孔S₁不斷飄入加速電場(chǎng)，其初速度可視為零，然后經(jīng)過小孔S₂垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)控制區(qū)，粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后離開磁場(chǎng)并打在水平放置的感光膠片上，離開磁場(chǎng)時(shí)粒子束的等效電流為I，不考慮粒子重力及粒子間的相互作用．
（1）求在任意時(shí)間t內(nèi)打在感光膠片上粒子的個(gè)數(shù)n；
（2）可在磁場(chǎng)控制區(qū)內(nèi)的適當(dāng)區(qū)域加一個(gè)磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使粒子垂直打在感光膠片上，若此磁場(chǎng)僅分布在一圓形區(qū)域內(nèi)，試求該圓形區(qū)域的最小半徑r；
（3）實(shí)際上加速電壓的大小會(huì)在U±△U范圍內(nèi)微小變化，粒子以不同的速度進(jìn)入磁場(chǎng)控制區(qū)，在磁場(chǎng)控制區(qū)內(nèi)加一個(gè)磁感強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使粒子均能垂直打在感光膠片上，求有界磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電流強(qiáng)度的定義式I=$\frac{Q}{t}$，求在任意時(shí)間t內(nèi)打在感光膠片上粒子的個(gè)數(shù)n．
（2）粒子先加速電場(chǎng)加速，后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由動(dòng)能定理求出加速得到的速度．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌跡半徑．粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)四分之一周射出，射入點(diǎn)與射出點(diǎn)在磁場(chǎng)圓上，過這兩點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，最小的圓是以這兩點(diǎn)連線為直徑的圓，由幾何關(guān)系求出磁場(chǎng)圓的最小半徑．
（3）由動(dòng)能定理求出加速得到最小速率和最大速率，求出磁場(chǎng)中對(duì)應(yīng)的最小半徑和最大半徑．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，磁場(chǎng)的左、右邊界為粒子最小、最大半徑對(duì)應(yīng)的四分之一圓周，下部分邊界是y=x的一部分，如圖所示陰影面積，即為有界磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S，由幾何知識(shí)求解S．

解答 解：（1）根據(jù)電流強(qiáng)度的定義 I=$\frac{nq}{t}$ ①
則得任意時(shí)間t內(nèi)打在感光膠片上粒子的個(gè)數(shù)  n=$\frac{It}{q}$ ②
（2）粒子在加速電場(chǎng)中加速時(shí)，由動(dòng)能定理得 qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ③
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律得
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   ④
粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)四分之一周射出，射入點(diǎn)與射出點(diǎn)在磁場(chǎng)圓上，過這兩點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，最小的圓是以這兩點(diǎn)連線為直徑的圓，由幾何關(guān)系可知，磁場(chǎng)區(qū)域圓的最小半徑應(yīng)滿足 r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R ⑤
由①～⑤式解得 r=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{q}}$ ⑥
（3）粒子在加速電場(chǎng)中加速，由qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，可得
速率最小值 v_min=$\sqrt{\frac{2q（U-△U）}{m}}$ ⑦
速率最大值 v_max=$\sqrt{\frac{2q（U+△U）}{m}}$ ⑧
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做軌跡為四分之一圓周的運(yùn)動(dòng)，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得
最大速率對(duì)應(yīng)的半徑 R_min=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2m（U+△U）}{q}}$ ⑨
最小速率對(duì)應(yīng)的半徑  R_max=$\frac{1}{B}$
$\sqrt{\frac{2m（U-△U）}{m}}$ （10）
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，磁場(chǎng)的左、右邊界為粒子最小、最大半徑對(duì)應(yīng)的四分之一圓周，下部分邊界是y=x的一部分，如圖所示陰影面積，即為有界磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，則
  S=（$\frac{1}{4}π{R}_{max}^{2}$-R${\frac{1}{2}R}_{max}^{2}$）-（$\frac{1}{4}π{R}_{min}^{2}$-$\frac{1}{2}{R}_{min}^{2}$） （11）
解得 S=（π-2）$\frac{m△U}{q{B}^{2}}$ （12）
答：
（1）在任意時(shí)間t內(nèi)打在感光膠片上粒子的個(gè)數(shù)n為$\frac{It}{q}$；
（2）該圓形區(qū)域的最小半徑r為$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{q}}$．
（3）有界磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S為（π-2）$\frac{m△U}{q{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類型，由動(dòng)能定理求出加速獲得的速度，畫出粒子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解面積，都是常用的思路，要加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解題能力．