Question

13．如圖，內(nèi)壁光滑形狀為$\frac{3}{4}$圓周的一根細(xì)圓鋼管固定在豎直平面內(nèi)，A處與圓心O在同一水平面內(nèi)．一個(gè)直徑略小于鋼管內(nèi)徑的小鋼球被一彈簧槍從A處正對(duì)著管口射入．第一次射入后小鋼球恰好能達(dá)到C點(diǎn)；第二次射入后小鋼球從C點(diǎn)平拋出去并恰好落回A點(diǎn)．這兩種情況下，小鋼球在軌道最低點(diǎn)處對(duì)鋼管的壓力大小之比是多少？

Answer 1

分析 第一種情況：小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)恰與管壁沒有相互作用，重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律可求解小球通過C點(diǎn)的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出最低點(diǎn)的速度，第二種情況：小球從C點(diǎn)水平飛出，做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)能定理求出最低點(diǎn)的速度，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出壓力即可．

解答 解：設(shè)細(xì)圓鋼管的半徑為r，
第一次射入后小鋼球恰好能達(dá)到C點(diǎn)，則在C點(diǎn)速度為零，即v_C=0①
從B到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg2r$②
在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
${N}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{r}$③
第二次射入后小鋼球從C點(diǎn)平拋出去并恰好落回A點(diǎn)，則有：
${v}_{C}′=\frac{r}{t}=\frac{r}{\sqrt{\frac{2r}{g}}}=\sqrt{\frac{gr}{2}}$④
從B到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}′}^{2}=-mg2r$⑤
在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
${N}_{2}-mg=m\frac{{{v}_{B}′}^{2}}{r}$⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥解得：
$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{10}{11}$
答：這兩種情況下，小鋼球在軌道最低點(diǎn)處對(duì)鋼管的壓力大小之比是10：11．

點(diǎn)評(píng) 本題為動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)能定理，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑方向的合力提供向心力．