Question

如圖所示，半徑為L₁=2m的金屬圓環(huán)內(nèi)上、下兩部分各有垂直圓環(huán)平面的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₁=

π

10

T．長度也為L₁、電阻為R的金屬桿ab，一端處于圓環(huán)中心，另一端恰好搭接在金屬環(huán)上，繞著a端做逆時(shí)針方向的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω=

π

10

rad/s．通過導(dǎo)線將金屬桿的a端和金屬環(huán)連接到圖示的電路中（連接a端的導(dǎo)線與圓環(huán)不接觸，圖中的定值電阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂=4R），圖中的平行板長度為L₂=2m，寬度為d=2m．當(dāng)金屬桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，在平行板左邊緣中央處剛好有一帶電粒子以初速度v_o=0.5m/s向右運(yùn)動(dòng)，并恰好能從平行板的右邊緣飛出，之后進(jìn)入到有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=2T，左邊界為圖中的虛線位置，右側(cè)及上下范圍均足夠大．（忽略金屬桿與圓環(huán)的接觸電阻、圓環(huán)電阻及導(dǎo)線電阻，忽略電容器的充放電時(shí)間，忽略帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射等影響，不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及帶電粒子的重力和空氣阻力．提示：導(dǎo)體棒以某一端點(diǎn)為圓心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)切割勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=

Bl2ω

2

）試分析下列問題：
（1）從圖示位置開始金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)半周期的時(shí)間內(nèi)，兩極板間的電勢(shì)差U_MN；
（2）帶電粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度方向與初速度方向的夾角θ；
（3）帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)切割公式求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因?yàn)殡娙萜魇遣⒙?lián)在R₂的兩端，所以電容器兩端的電勢(shì)差大小等于R₂兩端間的電壓，根據(jù)閉合電路歐姆定律即可求出R₂兩端的電壓．根據(jù)右手定則判斷出感應(yīng)電流的方向，得出M、N兩點(diǎn)電勢(shì)的高低，從而知道U_MN的正負(fù)．
（2）粒子在平行板電容器內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在0～

T1

2

時(shí)間內(nèi)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出出電場(chǎng)時(shí)水平方向和豎直方向上的速度，從而求出帶電粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度方向與初速度方向的夾角θ．
（3）求出帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后又返回電場(chǎng)，通過計(jì)算知返回電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)方向已反向，在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)和開始在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱．求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁，以及求出在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，從而求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂，總時(shí)間t_總=2t₁+t₂．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)切割公式得
E=

B1L12ω

2

=2 V
由電路的連接特點(diǎn)知
E=I?4R     
U_o=I?2R=

E

2

=1 V
T₁=

2π

ω

=20 s
由右手定則知
在0～

T1

2

時(shí)間內(nèi) 金屬桿ab中的電流方向?yàn)閎→a，則φ_a＞φ_b；
則  在0～

T1

2

時(shí)間內(nèi)φ_M＜φ_N  U_MN=-U_o=-1 V                        
（2）粒子在平行板電容器內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在0～

T1

2

時(shí)間內(nèi)
水平方向  L₂=v_o?t₁
豎直方向  

d

2

=

1

2

a

t

2 1

     a=

Eq

m

      E=

U

d

       v_y=at₁
則

q

m

=0.25 C/kg    v_y=0.5 m/s     v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

2

m/s
tanθ=

vy

v0

=1  所以  θ=45⁰                                     
（3）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
由Bqv=m

v2

r

得 r=

mv

Bq

即 r=

mv

B2q

=

2

m      T2=

2π?r

v

=4πs
由幾何關(guān)系及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知：粒子恰好在磁場(chǎng)中做了

3

4

圓周運(yùn)動(dòng)，并且粒子剛好能從平行板電容器的另一極板重新飛回到電場(chǎng)中．則磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₂=

3T2

4

=3π s．由于 t₁+t₂=4+3π≈13.42 s 大于

T1

2

且小于T₁  則此時(shí)飛回電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)方向與開始時(shí)相反，并且此時(shí)的速度與飛出電場(chǎng)時(shí)的速度等大、與水平方向的夾角大小相同，方向?yàn)閮A斜左上45⁰，則運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，則 t₃=t₁=4 s．
綜上  帶電粒子在電磁場(chǎng)中總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t_總=t₁+t₂+t₃=8+3π≈17.42 s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握右手定則判定感應(yīng)電流的方向，以及會(huì)分析帶電粒子在電場(chǎng)中、磁場(chǎng)中所做的運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．