Question

如圖所示，在X＞0，Y＞0的空間中存在兩個(gè)以水平面MN為界，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一根上端開口、內(nèi)壁光滑的絕緣細(xì)管，長(zhǎng)為L(zhǎng)，其底部有一質(zhì)量為m、電量為+q的粒子．在水平外力作用下，保持細(xì)管始終平行于Y軸，沿X方向以速度v₀勻速向右運(yùn)動(dòng)，且B=

mv0

2qL

，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）細(xì)管剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的加速度大小、方向；
（2）維持細(xì)管始終平行于Y軸向右勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，水平外力所做的功；
（3）粒子第一次到達(dá)運(yùn)動(dòng)軌跡最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出細(xì)管剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子受到的合力（洛倫茲力），然后根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大小及方向．
（2）粒子離開管子前，在豎直方向上受到恒定的力qv₀B，所以向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在水平方向上和管子一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)．求出離開管子粒子的合速度，根據(jù)功能關(guān)系，求出水平外力所做的功．
（3）可求出粒子離開管子的合速度大小和方向，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)洛倫茲力提供向心力，求出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．粒子離開管子前在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，可得知粒子在水平方向上的位移，根據(jù)幾何關(guān)系，求出最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．

解答：解：（1）以粒子為研究對(duì)象，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)f₁=qv₀B    a1=

qv0B

m

=

v02

2L

     沿+Y方向   
    （2）粒子離開玻璃管前，在管中豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在管中豎直方向做加速運(yùn)動(dòng)的加速度a，粒子運(yùn)動(dòng)到管口時(shí)，粒子在豎直方向的分速為v₁，則
在豎直方向  a=a₁ v₁²=2aL
可解得      v₁=v₀
粒子離開玻璃管口時(shí)的速度 v′=

v2+ v 2 1

=

2

v0m/s
速度方向與MN成45°角
外力所做的功，
有功能關(guān)系         W_F=△E_k △EK=

1

2

m

v

2 0

可得         WF=

1

2

m

v

2 0

（3）粒子離開管口后，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
在磁場(chǎng)中        qv′B=m

v′2

r

      r=

mv′

qB

=2

2

L
粒子在管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t =

L

v1 2

=

2L

v0

粒子在管中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)生的水平位移△x=v₀t=2L
軌跡最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)：x=△x+r?sin45°=4L    y=L+r(1-cos450)=(2

2

-1)L．．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)，在管子中的運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向和豎直方向，水平方向上勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上勻加速直線運(yùn)動(dòng)．離開管子后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．