Question

如圖，A、B、C是半徑R=5m的圓筒上一圓的三點(diǎn)，O為其圓心，AC垂直O(jiān)B．在圓O平面加一場(chǎng)強(qiáng)E=2.5×10³V/m、水平向右、寬度與直徑相同的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)通過(guò)圓筒上唯一的小孔A沿AC直徑射入速率為v的一帶電粒子S，粒子質(zhì)量m=2.5×10^-7kg、電量q=1.0×10^-7C，粒子S恰好能沿曲線直接運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)（不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用），求：
（1）粒子S的速率v為多大；
（2）若粒子S與筒壁的碰撞是彈性的（粒子S沿半徑方向的分速度碰撞后反向、速度大小不變；垂直半徑方向的分速度碰撞后不變），則粒子S在圓筒中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是多少．

Answer 1

分析：帶電粒子從A點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)力的作用下，帶電粒子由A點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，粒子S與筒壁發(fā)生彈性碰撞，碰后帶電粒子又從B點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在C點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞；帶電粒子在C點(diǎn)碰后的速度與在A點(diǎn)的速度等大方向（根據(jù)碰撞是彈性），所以帶電粒子又在電場(chǎng)力的作用下由C點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，在B點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞后，又從B做曲線運(yùn)動(dòng)到A的點(diǎn)，在A點(diǎn)時(shí)速度方向與進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度等大方向，故帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)．一定注意：粒子S與筒壁是彈性碰撞．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為t₁，加速度a，根據(jù)牛頓第二定律：qE=ma                 
代入數(shù)據(jù)得a=1000m/s²．   ①
由A到B，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)公式得：
在AC方向，R=vt₁ ②
在水平方向，R=

1

2

at₁²      ③
聯(lián)立①②③解之得：t₁=0.1s，v=50m/s 
（2）根據(jù)粒子S與筒壁的碰撞是彈性且只在電場(chǎng)力的作用下，粒子由A到B做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子與B點(diǎn)碰撞后沿拋物線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，然后沿原來(lái)的軌跡運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，碰撞后回到A點(diǎn)．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性，可知粒子在圓筒中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=4t₁=0.4s．
答：粒子S的速率v為50m/s；（2）若粒子S與筒壁的碰撞是彈性的（粒子S沿半徑方向的分速度碰撞后反向、速度大小不變；垂直半徑方向的分速度碰撞后不變），則粒子S在圓筒中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是0.4s．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)粒子S與筒壁的是彈性碰撞，分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況是解本題的關(guān)鍵，巧利用運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性是求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間的依據(jù)．