Question

【題目】開普勒1609年一1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)行三定律，其中第三定律的內(nèi)容是：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．萬有引力定律是科學(xué)史上最偉大的定律之一，它于1687年發(fā)表在牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中．
（1）請根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等推導(dǎo)萬有引力定律（設(shè)行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）；
（2）牛頓通過“月﹣地檢驗(yàn)”進(jìn)一步說明了萬有引力定律的正確性，請簡述一下如何進(jìn)行“月﹣地檢驗(yàn)”？

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽對行星的引力為F．

太陽對行星的引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力F=m（ ）2R= mR

根據(jù)開普勒第三定律 =K

得T2=

故F= mK

根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質(zhì)量成正比．所以太陽對行星的引力

F∝

寫成等式有 F=G （G為常量）

（2）

如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球的半徑的N倍，月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度就應(yīng)該是地球表面重力加速度的 倍，在牛頓的時(shí)代，重力加速度已經(jīng)比較精確的測定，也能精確的測定月球與地球的距離，月球公轉(zhuǎn)的周期，從而能夠算出月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度．根據(jù)計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證是否符合上述的“平方反比”關(guān)系

【解析】（1）設(shè)行星的質(zhì)量為m ， 太陽質(zhì)量為M ， 行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽對行星的引力為F ．
太陽對行星的引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力F=m（）2R= mR
根據(jù)開普勒第三定律 =K
得T2=
故F= mK
根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質(zhì)量成正比．所以太陽對行星的引力
F∝
寫成等式有 F=G （G為常量）．（2）如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球的半徑的N倍，月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度就應(yīng)該是地球表面重力加速度的 倍，在牛頓的時(shí)代，重力加速度已經(jīng)比較精確的測定，也能精確的測定月球與地球的距離，月球公轉(zhuǎn)的周期，從而能夠算出月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度．根據(jù)計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證是否符合上述的“平方反比”關(guān)系．
答：（1）推導(dǎo)如上所述；（2）簡述如上說明．
行星繞太陽能做圓周運(yùn)動(dòng)，是由引力提供向心力來實(shí)現(xiàn)的．再由開普勒第三定律可推導(dǎo)出萬有引力定律．由圓周運(yùn)動(dòng)可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與地球表面重力加速度進(jìn)行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力．