Question

12．設宇宙中某一小行星自轉較快，但仍可近似看作質量分布均勻的球體，半徑為R．宇航員用彈簧測力計稱量一個相對自己靜止的小物體的重力，第一次在極點處，彈簧測力計的讀數(shù)為F₁=F₀；第二次在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F₂=$\frac{{F}_{1}}{2}$．假設第三次在赤道平面內(nèi)深度為$\frac{R}{2}$的隧道底部，示數(shù)為F₃；第四次在距星球表面高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中，示數(shù)為F₄．已知均勻球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則以下判斷正確的是（　�。�

• A． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$   F₄=$\frac{{F}_{0}}{4}$
• B． F₃=$\frac{15{F}_{0}}{4}$  F₄=0
• C． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$  F₄=0
• D． 在人造衛(wèi)星中時，物體處于失重狀態(tài)

Answer 1

分析 計算質量均勻分布的球體對物體的萬有引力時，可以近似看做是質點之間的萬有引力，由萬有引力定律分布寫出幾種不同的情況下的表達式，然后結合向心力的表達進行比較即可

解答 解：ABC、設該行星的質量為M，則質量為m的物體在極點處的萬有引力：${F}_{1}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}={F}_{0}^{\;}$
由于球體的體積公式為：$V=\frac{4π{r}_{\;}^{3}}{3}$
由于在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為${F}_{2}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{2}$，則：${F}_{n1}^{\;}={F}_{1}^{\;}-{F}_{2}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}R$
所以半徑$\frac{R}{2}$以內(nèi)的部分的質量為：$M′=\frac{（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}•M=\frac{1}{8}M$
物體在$\frac{R}{2}$處受到的萬有引力：${F}_{3}^{′}=G\frac{M′m}{（\frac{R}{2}）_{\;}^{2}}=\frac{1}{2}{F}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{F}_{0}^{\;}$
物體需要的向心力：${F}_{n3}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}•\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{ω}_{\;}^{2}R=\frac{1}{4}{F}_{0}^{\;}$
物體在赤道平面內(nèi)深度為$\frac{R}{2}$的隧道底部，${F}_{2}^{\;}={F}_{3}^{′}-{F}_{n3}^{\;}=\frac{1}{2}{F}_{0}^{\;}-\frac{1}{4}{F}_{0}^{\;}=\frac{1}{4}{F}_{0}^{\;}$
第四次在距星表高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，所以彈簧秤的示數(shù)為0，故A錯誤，B錯誤，C正確；
D、人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，在人造衛(wèi)星中時，物體處于失重狀態(tài)，故D正確；
故選：CD

點評 解決本題的關鍵知道在行星的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力．同時要注意在繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時物體處于完全失重狀態(tài)．