Question

（2011?浙江一模）如圖，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E；MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知．今從MN上的O點向磁場中射入一個速度大小為v、方向與MN成45°角的帶正電粒子，該粒子在磁場中運(yùn)動時的軌道半徑為R．若該粒子從O點進(jìn)入磁場后第三次經(jīng)過直線MN后又恰好通過O點．不計粒子的重力．求：
（1）粒子第三次經(jīng)過直線MN時的位置；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（3）粒子從O點出發(fā)到再次回到O點所需的時間．

Answer 1

分析：粒子在磁場中受洛倫茲力作用下做一段圓弧后，進(jìn)入電場中恰好做勻減速運(yùn)動直到速度為零后又返回，以相同速率再次進(jìn)入磁場仍在洛倫茲力作用下又做一段圓弧后，再次進(jìn)入電場正好做類平拋運(yùn)動．粒子在磁場中兩次運(yùn)動剛好完成一個周期，則粒子第三次經(jīng)過直線MN時的位置，就是這兩段圓弧對應(yīng)弦長的兩倍．
由粒子在電場中的類平拋運(yùn)動，垂直電場方向位移與速度關(guān)系；沿電場方向位移與時間關(guān)系，從而借助于電場強(qiáng)度來求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．

解答：解：粒子的運(yùn)動軌跡如圖，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點，接著恰好逆電場線勻減速運(yùn)動到b點速度為零再返回a點速度仍為v，再在磁場中運(yùn)動一段

3

4

圓弧到c點，之后垂直電場線進(jìn)入電場作類平拋運(yùn)動．
（1）由圖可知：oa=2Rcos45°=

2

R  
因此oc=2

2

R 即距離O 點2

2

R     （1）
（2）粒子在電場中運(yùn)動時垂直和平行電場方向的位移都為 
      s_⊥=s_∥=ocsin45°=2R    （2）
所以類平拋運(yùn)動時間為
      t1=

s⊥

v

=

2R

v

            （3）
又     s∥=

1

2

at

2 3

=

qE 2m t

2 3

      （4）
再有    Bqv=m

v2

R

   （5）
由③④⑤⑥⑦可得
         B=

E

v

              （6）
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為
        t2=

2πR

v

                   （7）
粒子在電場中的加速度為
           a=

qE

m

=

v2

R

         （8）
粒子在電場中做直線運(yùn)動所需時間為
     t3=

2v

a

=

2R

v

            （9）
由（4）（9）（7）得粒子從出發(fā)到再到達(dá)O點所需時間
  t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)

點評：本題考查帶電粒子在電場、磁場中兩運(yùn)動模型：勻速圓周運(yùn)動與類平拋運(yùn)動，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．