Question

13．某玩具裝置如圖甲所示，軌道AC段水平，CD段是光滑半圓弧軌道，直徑CD豎直，圓心為O，半徑R=0.4m，彈簧的左端固定，自由狀態(tài)下右端在B點(diǎn)，對(duì)質(zhì)量m=0.1kg的小彈珠P施加作用力使得彈簧壓縮量為x₀，解除約束后小彈珠由靜止運(yùn)動(dòng)，恰好經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后落回到B點(diǎn)，已知小彈珠與軌道AC的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，彈簧的彈性勢(shì)能與壓縮量的關(guān)系如圖乙所示，（g=10m/s²，$\sqrt{139.24}$=11.8）．求：

（1）小彈珠P到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大�。�
（2）彈簧壓縮量x₀．

Answer 1

分析 （1）最高點(diǎn)D進(jìn)行受力分析，恰好重力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律，從C到D運(yùn)用動(dòng)能定理，再對(duì)C點(diǎn)進(jìn)行受力分析運(yùn)用牛頓第二定律，即可求出小彈珠P到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大��；
（2）小彈珠P從D到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)水平方向和豎直方向的位移規(guī)律，再對(duì)小彈珠開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程運(yùn)用能量守恒，結(jié)合乙圖中彈簧的彈性勢(shì)能與壓縮量的關(guān)系，聯(lián)立即可求出彈簧壓縮量x₀．

解答 解：（1）小彈珠P在D點(diǎn)只受重力，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
小彈珠P從C到D點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小彈珠P在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=6N
（2）小彈珠P從D到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋規(guī)律有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，BC長(zhǎng)度：x=v_Dt
小彈珠P從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)能量守恒定律可得：E_P=μmg（x₀+x）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
根據(jù)圖象可知，彈簧壓縮量為x₀時(shí)其彈性勢(shì)能為：E_P=30x₀²
解得：x₀=0.2m
答：（1）小彈珠P到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大小為6N；
（2）彈簧壓縮量x₀為0.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、能量守恒定律、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，涉及到豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．