Question

5．河寬d=100m，水流速度υ₁=3m/s，船在靜水中的速度是υ₂=4m/s，求：
（1）欲使船渡河時間最短，船應怎樣渡河？最短時間是多少？
（2）欲使船航行距離最短，船應怎樣渡河？渡河時間多長？

Answer 1

分析 船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短．由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實際以合速度做勻速直線運動，進而求得位移的大�。恍〈�以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：設船與岸成θ角向對岸行駛，如圖所示，則當船行到對岸時，s₂=$\fraceuvp1k2{sinθ}$t
$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}$=$\fraclcdrltr{{v}_{2}sinθ}$
當sinθ=1時，t最小，即船應沿垂直與河岸的方向渡河．
t_min=$\fracigtfewu{{v}_{2}}$=$\frac{100}{4}$s=25s；
（2）欲使船航行距離最短，需使船的實際位移（合位移）與河岸垂直，設此時船的開行速度υ₂與岸成ϕ角，如圖1-2所示．
則cosϕ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
υ=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$m/s=$\sqrt{7}$m/s，
t=$\fracdakss7t{v}$=$\frac{100}{\sqrt{7}}$s=$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s
答：（1）欲使船渡河時間最短，船應垂直河岸渡河，最短時間是25s；
（2）欲使船航行距離最短，船的合速度垂直河岸渡河，即與河岸的夾角余弦值為$\frac{3}{4}$，且渡河時間$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s．

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度