Question

6．北京獲得2022年冬季奧運(yùn)會舉辦權(quán)，滑雪也是其中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，如圖所示為某室內(nèi)滑雪場的滑道，AB為傾角θ₁=37°的傾斜滑道，BC為L=4m的水平滑道，CD為半徑R=10m、圓心角α=37°的圓弧滑道，DE為傾角θ₂=45°的斜坡滑道，滑道在B點(diǎn)和C點(diǎn)平滑連接．質(zhì)量m=60kg的滑雪者從h=9m處的P點(diǎn)由靜止出發(fā)，到達(dá)圓弧滑道最高點(diǎn)D時(shí)恰好對滑道沒有壓力水平飛出，在空中飛行一段時(shí)間后落在DE滑道上的Q點(diǎn)．已知滑雪者與滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，不計(jì)空氣阻力，滑雪者可視作成質(zhì)點(diǎn)，求（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）滑雪者落點(diǎn)Q與最高點(diǎn)D之間的距離：
（2）滑雪者運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度大��；
（3）滑雪者在CD段圓弧克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）滑雪者在最高點(diǎn)D時(shí)恰好對滑道沒有壓力，由重力提供向心力，可求出滑雪者經(jīng)過D點(diǎn)的速度．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和幾何關(guān)系可求滑雪者落點(diǎn)Q與最高點(diǎn)D之間的距離；
（2）滑雪者從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得滑雪者運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度大��；
（3）利用動(dòng)能定理可求滑雪者在圓弧滑道CD上克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）滑雪者在最高點(diǎn)D時(shí)恰好對滑道沒有壓力，設(shè)此時(shí)的速度為v，
由牛頓第二定律可得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=10m/s
設(shè)滑雪者落點(diǎn)Q與最高點(diǎn)D之間的距離為x，空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)可知：
在水平方向上：xcosθ₂=vt
在豎直方向上：xsinθ₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得：x=20$\sqrt{2}$m≈28.3 m
（2）設(shè)滑雪者在AB滑道克服摩擦力做功W₁，在BC滑道克服摩擦力做功W₂，則：
    W₁=μmgcosθ₁$\frac{h}{sin{θ}_{1}}$=720J
   W₂=μmgL=240J
從P到C的過程，由動(dòng)能定理得：mgh-W₁-W₂=$\frac{1}{2}$mv_C²-0
解得，滑雪者運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度 v_C=2$\sqrt{37}$m/s
（3）設(shè)滑雪者在CD段圓弧克服摩擦力所做的功為W₃．
則C到D的過程，由動(dòng)能定理得：
-mgR（1-cosα）-W₃=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 W₃=240J
答：
（1）滑雪者落點(diǎn)Q與最高點(diǎn)D之間的距離是28.3m：
（2）滑雪者運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度大小是2$\sqrt{37}$m/s；
（3）滑雪者在CD段圓弧克服摩擦力所做的功是240J．

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，再應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求速度、壓力、水平位移等．用動(dòng)能定理解題時(shí)一定要注意運(yùn)過程中有那些力做功，做正功還是做負(fù)功．