Question

4．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放里在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)． M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓金屬桿ab沿導(dǎo)軌由靜止開(kāi)始下滑，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，金屬桿達(dá)到最大速度v_m，在這個(gè)過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為Q．導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度為g．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，求此時(shí)桿的加速度大��；
（3）求金屬桿從靜止開(kāi)始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中下降的高度．

Answer 1

分析 （1）金屬桿先沿導(dǎo)軌向下做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值，此時(shí)金屬桿受力平衡，根據(jù)平衡條件和安培力公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．
（2）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，求出安培力，由牛頓第二定律求解加速度大小．
（3）金屬桿從靜止開(kāi)始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，其重力勢(shì)能減小，轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能、摩擦生熱和電路中的焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解桿下降的高度

解答 解：（1）當(dāng)桿達(dá)到最大速度時(shí)受力平衡，
由平衡條件得：mgsinθ=BIL+μN(yùn)，N=mgcosθ，
電路中電流為：$I=\frac{E}{R}=\frac{{BL{v_m}}}{R}$，
解得：$B=\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{{L^2}{v_m}}}}$．
（2）當(dāng)桿的速度為$\frac{1}{3}{v_m}$時(shí)，由牛頓第二定律得：
mgsinθ-BI'L-μN(yùn)=ma，
此時(shí)電路中電流為：$I=\frac{E'}{R}=\frac{{BL{v_m}}}{3R}$
解得：$a=\frac{2}{3}gsinθ-\frac{2}{3}μgcosθ$．
（3）設(shè)金屬桿從靜止開(kāi)始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中下降的高度為h，
由能量守恒得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_m}^2+Q+μmgcosθ•s$，
高度：h=s•sinθ，解得：$h=\frac{{m{v_m}^2+2Q}}{2mg（1-μcotθ）}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，此時(shí)桿的加速度大小為$\frac{2}{3}$gsinθ-$\frac{2}{3}$μgcosθ；
（3）金屬桿從靜止開(kāi)始至達(dá)到最大速度的過(guò)程中下降的高度為$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，常規(guī)題．