Question

10．如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線，它們的連線垂直M、N，且s₂O=R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．D為收集板，收集板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及兩端點(diǎn)A和C的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線AC垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過(guò)s₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)．
（1）當(dāng)M、N間的電壓為U_x時(shí)，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v_x；
（2）要使粒子能夠打在收集板上，求在M、N間所加電壓的范圍；
（3）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功引起動(dòng)能變化，由動(dòng)能定理v_x；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑表達(dá)式．當(dāng)粒子打在收集板D的A點(diǎn)時(shí)，軌跡半徑最小，粒子速度最小，在M、N間所加電壓最�。划�(dāng)粒子打在收集板D的C點(diǎn)時(shí)，軌跡半徑最大，粒子速度最大，在M、N間所加電壓最大；由幾何知識(shí)求出半徑，再求解電壓的范圍．
（3）粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間分三段：加速電場(chǎng)中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)平均速度法求出時(shí)間；磁場(chǎng)中根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解時(shí)間；射出磁場(chǎng)后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由速度公式求解時(shí)間，再求解總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從s₁到達(dá)s₂的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：$q{U_x}=\frac{1}{2}m{v_x}^2$
     解得：${v_x}=\sqrt{\frac{{2q{U_x}}}{m}}$
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)其速度大小為v，軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
粒子在M、N之間運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，
  聯(lián)立解得：$U=\frac{{q{B^2}{r^2}}}{2m}$
當(dāng)粒子打在收集板D的A點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間最長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑${r_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$，此時(shí)M、N間的電壓最小，為${U_1}=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}$
當(dāng)粒子打在收集板D的C點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間最短，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑${r_2}=\sqrt{3}R$，此時(shí)M、N間的電壓最大，為${U_2}=\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$
要使粒子能夠打在收集板D上，在M、N間所加電壓的范圍為$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}≤U≤\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$．
（3）根據(jù)題意分析可知，當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)上時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀=R，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度${v_0}=\frac{{qB{r_0}}}{m}$
   粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{R}{\frac{{v}_{0}}{2}}$
   粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{{2π{r_0}}}{v_0}=\frac{2πm}{qB}$
   粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間${t_2}=\frac{1}{4}T$
  粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間${t_3}=\frac{R}{v_0}$
所以粒子從s₁運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為$t={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{（6+π）m}{2qB}$
答：（1）當(dāng)M、N間的電壓為U_x時(shí)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小${v_x}=\sqrt{\frac{{2q{U_x}}}{m}}$；
   （2）要使粒子能夠打在收集板D上，在M、N間所加電壓的范圍為$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}≤U≤\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$；
   （3）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{（6+π）m}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子先經(jīng)電場(chǎng)加速，后經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)幾何知識(shí)分析粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)半徑的關(guān)系．