Question

如圖所示，兩條足夠長的互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi)，距離為L=0.5m．在導(dǎo)軌的一端分別接有阻值均為0.6Ω的電阻R₁、R₂，在x≥0處有一與水平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．一質(zhì)量m=0.2kg的金屬桿垂直放置在導(dǎo)軌上，金屬直桿的電阻是r=0.2Ω，其他電阻忽略不計(jì)，金屬直桿以一定的初速度v₀=4m/s進(jìn)入磁場(chǎng)，同時(shí)受到沿x軸正方向的恒力F=3.5N的作用，在x=2m處速度達(dá)到穩(wěn)定．求：
（1）金屬直桿達(dá)到的穩(wěn)定速度v₁是多大？
（2）若拉力在金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度前某一時(shí)刻突然反向，大小不變，從拉力反向到棒的速度減為零時(shí)止，通過R₁的電量為0.1C，R₁上產(chǎn)生的熱量為0.54J，則拉力反向時(shí)棒的速度v₃多大？

Answer 1

分析：（1）金屬直桿穩(wěn)定時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，合力為零，推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，由安培力與恒力F平衡，求解速度v₁．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得到感應(yīng)電荷量q=

△Φ

R總

求解金屬桿通過的距離，再根據(jù)能量守恒定律求解速度v₃．

解答：解：（1）金屬直桿的速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₁；
感應(yīng)電流為：I=

E

R總

金屬桿所受的安培力：F_安=BIL
而R_總=

R1R2

R1+R2

+r=（0.3+0.2）Ω=0.5Ω
聯(lián)立得：F_安=

B2L2v1

R總

根據(jù)平衡條件得：F=F_安，
聯(lián)立得：v₁=

FR總

B2L2

=

3.5×0.5

12×0．52

m/s=7m/s
（2）設(shè)從拉力反向到棒的速度減為零時(shí)桿通過的距離為s．
由于R₁、R₂并聯(lián)，則通過金屬桿的電量：q=2×0.1C=0.2C．
又 q=

.

I

△t=

. E

R   總

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLs
聯(lián)立得：q=

BLs

R總

得：s=

qR總

BL

=

0.2×0.5

1×0.5

m=0.2m
由題意，R₁上產(chǎn)生的熱量為 Q₁=0.54J，則R₂上產(chǎn)生的熱量為：Q₂=Q₁=0.54J
設(shè)金屬桿產(chǎn)生的熱量為Q_r．根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)可得：

Qr

2Q1

=

R并

r

，
得：Q_r=

R并

r

?2Q₁=

0.3

0.2

×2×0.54J=1.62J
根據(jù)能量守恒定律得：2Q₁+Q_r+Fs=

1

2

m

v

2 3

得：v₃=

2(2Q1+Qr+Fs) m

=

2×(2×0.54+1.62+3.5×0.2) 0.2

=

34

m/s
答：（1）金屬直桿達(dá)到的穩(wěn)定速度v₁是7m/s．
（2）拉力反向時(shí)棒的速度v₃是

34

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路等等知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)安培力和感應(yīng)電量表達(dá)式．