Question

如圖所示，水平地面上方的H高區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，水平界面PP′是磁場(chǎng)的上邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向是水平的，垂直于紙面向里．在磁場(chǎng)的正上方，有一個(gè)位于豎直平面內(nèi)的閉合的矩形平面導(dǎo)線框abcd，ab長(zhǎng)為l₁，bc長(zhǎng)為l₂，H＞l₂，線框的質(zhì)量為m，電阻為R．使線框abcd從高處自由落下，ab邊下落的過程中始終保持水平，已知線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中的運(yùn)動(dòng)情況是：cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)以后，線框先做加速運(yùn)動(dòng)，然后做勻速運(yùn)動(dòng)，直到ab邊到達(dá)邊界PP′為止．從線框開始下落到cd邊剛好到達(dá)水平地面的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱為Q．求：
（1）線框abcd在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，通過導(dǎo)線的某一橫截面的電荷量是多少？
（2）線框是從cd邊距邊界PP′多高處開始下落的？
（3）線框的cd邊到達(dá)地面時(shí)線框的速度大小是多少？

Answer 1

（1）設(shè)線框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)的過程所用時(shí)間為t，通過線框的平均電流為

.

I

，平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

.

E

，則

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

R

，△Φ=Bl₁l₂
通過導(dǎo)線的某一橫截面的電荷量 q=q=

.

I

△t=

△Φ

R

，解得 q=

Bl1l2

R

．
（2）設(shè)線框從cd邊距邊界PP′上方h高處開始下落，cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，在安培力作用下做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到安培力等于重力后勻速下落，速度設(shè)為v，勻速過程一直持續(xù)到ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)結(jié)束，有
E=Bl₁v，I=

E

R

F_A=BIl₁，F(xiàn)_A=mg
聯(lián)立解得 v=

mgR

B2 l 21

線框的ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，線框中沒有感應(yīng)電流．只有在線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中有焦耳熱Q．線框從開始下落到ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，線框的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為線框的動(dòng)能和電路中的焦耳熱．則有
mg（h+l₂）=

1

2

mv2+Q
解得 h=

m3g2R2+2QB4 l 41

2mgB4 l 41

-l2
（3）線框的ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，只有重力作用下，勻加速下落，加速度大小為g，則有

v

21

-v2=2g(H-l2)
解得，cd邊到達(dá)地面時(shí)線框的速度v₁=

m2g2R2 B4 l 41 +2g(H-l2)

答：（1）線框abcd在進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，通過導(dǎo)線的某一橫截面的電荷量是

Bl1l2

R

．

（2）線框是從cd邊距邊界PP′

m3g2R2+2QB4 l 41

2mgB4 l 41

-l2高處開始下落的．
（3）線框的cd邊到達(dá)地面時(shí)線框的速度大小是

m2g2R2 B4 l 41 +2g(H-l2)

．