Question

6．已知地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，如果不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，那么：
（1）求地球的質(zhì)量表達(dá)式
（2）求地球平均密度的表達(dá)式
（3）假若不知地球半徑和地面重力加速度，但已知近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)，求地球的密度表達(dá)式．

Answer 1

分析 由地球表面萬(wàn)有引力等于重力，可得地球質(zhì)量，再由體積表達(dá)式可得地球密度．
人造地球衛(wèi)星繞地球飛行，靠萬(wàn)有引力提供向心力，表示出地球質(zhì)量，再求解密度．

解答 解：（1）由地球表面萬(wàn)有引力等于重力，
可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）地球體積為：V=$\frac{4}{3}$πR³
故地球密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）人造地球衛(wèi)星繞地球飛行，靠萬(wàn)有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由于是近地衛(wèi)星，所以r=R，
所以M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
故地球密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，
答：（1）地球的質(zhì)量表達(dá)式是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）地球平均密度的表達(dá)式是$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）假若不知地球半徑和地面重力加速度，但已知近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)，地球的密度表達(dá)式是$\frac{3π}{{GT}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．