Question

6．已知地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，如果不考慮地球自轉的影響，那么：
（1）求地球的質量表達式
（2）求地球平均密度的表達式
（3）假若不知地球半徑和地面重力加速度，但已知近地衛(wèi)星的運行周期為T，求地球的密度表達式．

Answer 1

分析 由地球表面萬有引力等于重力，可得地球質量，再由體積表達式可得地球密度．
人造地球衛(wèi)星繞地球飛行，靠萬有引力提供向心力，表示出地球質量，再求解密度．

解答 解：（1）由地球表面萬有引力等于重力，
可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）地球體積為：V=$\frac{4}{3}$πR³
故地球密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）人造地球衛(wèi)星繞地球飛行，靠萬有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由于是近地衛(wèi)星，所以r=R，
所以M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
故地球密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，
答：（1）地球的質量表達式是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）地球平均密度的表達式是$\frac{3g}{4πGR}$，
（3）假若不知地球半徑和地面重力加速度，但已知近地衛(wèi)星的運行周期為T，地球的密度表達式是$\frac{3π}{{GT}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．