Question

20．如圖所示，軌道的AB段為一半徑R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圓形軌道，BC段是傾角為α=37°，高h(yuǎn)=0.5m的斜面．一質(zhì)量為0.1kg的小球由A點(diǎn)從靜止開始下滑，離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)（g取10m/s²），求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓形軌道的壓力大�。�
（2）小球在BC軌道上的落地點(diǎn)到C的距離？

Answer 1

分析 （1）A到B的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度大小．根據(jù)牛頓第二定律和第三定律結(jié)合求解壓力．
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合初速度和時(shí)間求出水平距離，再根據(jù)幾何關(guān)系求出落到到C點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，即$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR 
則得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s．
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=3mg=3×0.1×10N=3N
由牛頓第三定律得知小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓形軌道的壓力大小 N′=N=3N
（2）設(shè)小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，落地點(diǎn)到C點(diǎn)距離為s
由h=$\frac{1}{2}$gt₁² 得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.5}{10}}$s=0.316s．
s=v_Bt=2×0.316m=0.632m；
因此小球?qū)⒙涞叫泵嫔�，不能利用高度h求解，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：
$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}=tan37°$
解得：t=0.3m；
下落的豎直高度h'=$\frac{1}{2}$gt²=0.45m；
由幾何關(guān)系可知，落到到C點(diǎn)的距離為：L=$\frac{h-h′}{sin37°}$=$\frac{0.5-0.45}{0.6}$=0.083m
答：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓形軌道的壓力大小是3N．
（2）小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的距離是0.083m

點(diǎn)評 本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)來求解．