Question

如圖，在區(qū)域Ⅰ（0≤x≤d）和區(qū)域Ⅱ（d＜x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域Ⅰ，其速度方向沿x軸正向．已知a在離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)，速度方向與x軸正向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從P點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，其速度大小是a的1/3，不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力，求：
（1）粒子a射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大��；
（2）當(dāng)a離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，運(yùn)用幾何關(guān)系求出粒子的軌道半徑，結(jié)合牛頓第二定律求出粒子a射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大小．
（2）通過(guò)洛倫茲力提供向心力，得出a粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌道半徑是區(qū)域Ⅰ中的一半，結(jié)合幾何關(guān)系得出a粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)，a粒子的縱坐標(biāo)．根據(jù)時(shí)間關(guān)系通過(guò)幾何關(guān)系求出當(dāng)a離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)，b粒子的縱坐標(biāo)，從而得出a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差．

解答：解：（1）設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場(chǎng)區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P'，如圖
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得qvaB=m

va2

Ra1

①
由幾何關(guān)系得∠PCP′=θ�、�，Ra1=

d

sinθ

③，式中 θ=30°
由①②③式得 va1=

2qBd

m

④
（2）設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O_a，半徑為R_a1，射出點(diǎn)為P_a（圖中未畫(huà)出軌跡），∠P′O_aP_a=θ′．
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得qva(2B)=m

va2

Ra2

⑤
由①⑤式得 Ra2=

Ra1

2

⑥
C、P'和O_a三點(diǎn)共線，且由⑥式知O_a點(diǎn)必位于x=

3

2

d ⑦的平面上．由對(duì)稱性知，P_a點(diǎn)與P'點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，
即 y₁=R_a1cosθ+h⑧式中，h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)
設(shè)b在I中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_b1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得
q(

va

3

)B=

m

Rb1

(

va

3

)2⑨
設(shè)a到達(dá)P_a點(diǎn)時(shí)，b位于P_b點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α．如果b沒(méi)有飛出I，則

t

Ta2

=

θ′

2π

⑩，

t

Tb1

=

α

2π

，（11）
式中，t是a在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而
Ta2=

2πRa2

v

（12），Tb1=

2πRb1

v 3

 （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）式得
α=30°（14）
由①③⑨（14）式可見(jiàn)，b沒(méi)有飛出．P_b點(diǎn)的y坐標(biāo)為 y₂=R_b1（2+cosα）+h
由①③⑧⑨式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為 y1-y2=

2

3

(

3

-2)d．
答：（1）粒子a射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大小va1=

2qBd

m

．
（2）當(dāng)a離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為y1-y2=

2

3

(

3

-2)d．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需掌握粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式，能夠正確地作出軌跡圖，運(yùn)用幾何關(guān)系求解．