Question

20．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第一、四象限內(nèi)存在邊界平行y軸的兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)：垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ．O、M、P、Q為磁場(chǎng)邊界和x軸的交點(diǎn)，OM=MP=L；在第三象限內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$，-L）的A點(diǎn)以速度v₀沿+x方向射出，恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O射入?yún)^(qū)域Ⅰ，從C點(diǎn)射出區(qū)域Ⅰ，從某點(diǎn)射入?yún)^(qū)域Ⅱ，射入時(shí)速度與+x軸方向成30°角斜向下．經(jīng)區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后又從C點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E及帶電粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）粒子從C點(diǎn)射出又回到C點(diǎn)用的時(shí)間t；
（3）區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)沿電場(chǎng)方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，以及帶電粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在區(qū)域 II中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)周期的大小求出粒子在區(qū)域 II磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間得出粒子從C點(diǎn)射出又回到C點(diǎn)用的時(shí)間．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在區(qū)域Ⅰ中的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）帶電粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，qE=ma，
$\frac{2\sqrt{3}}{3}L={v}_{0}t$
解得電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．
帶電粒子從A點(diǎn)到O點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理
$qEL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
cosα=$\frac{{v}_{0}}{v}$
解得帶電粒子在O點(diǎn)的速度大小v=2v₀．
方向?yàn)榕cx軸夾角α=60°．
（2）由幾何關(guān)系有
$2\frac{L}{sin60°}cos60°=2{r}_{2}cos30°$，
解得帶電粒子在區(qū)域 II中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑${r}_{2}=\frac{2}{3}L$．
粒子在區(qū)域 II磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$，
${t}_{1}=\frac{2}{3}T=\frac{4πL}{9{v}_{0}}$，
在磁場(chǎng)外運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}=\frac{L}{vsin60°}=\frac{2\sqrt{3}L}{3{v}_{0}}$，
帶電粒子從C點(diǎn)射出又回到C點(diǎn)用的時(shí)間
t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（6\sqrt{3}+4π）L}{9{v}_{0}}$．
（3）由幾何關(guān)系有 r₁cos30°+r₁sin30°=L，
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度：B=$\frac{（\sqrt{3}+1）m{v}_{0}}{qL}$．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$，帶電粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小為2v₀，方向?yàn)榕cx軸夾角α=60°；
（2）粒子從C點(diǎn)射出又回到C點(diǎn)用的時(shí)間t為$\frac{（6\sqrt{3}+4π）L}{9{v}_{0}}$；
（3）區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{（\sqrt{3}+1）m{v}_{0}}{qL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．