Question

7．如圖甲所示，兩條足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌間距為L，兩導(dǎo)軌的上端接有阻值R的電阻．虛線OO′下方有垂直于導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)將質(zhì)量m、電阻為r的金屬桿ab，從OO′上方某處由靜止釋放，金屬桿在下落的過程中與導(dǎo)軌保持良好接觸，且始終保持水平，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，重力加速度為g．已知金屬桿下落過程中加速度a與下落距離h的關(guān)系圖象如圖乙所示．求：

（1）金屬桿剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₀為多大？
（2）金屬桿下落了高度h₀時(shí)的速度v為多大？
（3）金屬桿下落高度h₀的過程中，在電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為多少？

Answer 1

分析 （1）由圖可知，ab桿進(jìn)入磁場時(shí)，加速度方向向上，大小為g，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律和安培力的公式求出金屬桿剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度．
（2）金屬桿下落了高度h₀時(shí)，加速度為零，結(jié)合切割產(chǎn)生感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律和安培力公式求出此時(shí)的速度．
（3）根據(jù)能量守恒求出整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，結(jié)合電阻關(guān)系求出在電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由圖乙知，剛進(jìn)入磁場時(shí)，金屬桿的加速度大小為a=g，方向豎直向上．
由牛頓第二定律得：BIL-mg=ma，
設(shè)金屬桿剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v₀，則產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv₀
由歐姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$
解得：v₀=$\frac{2mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$，
（2）由圖象可知，當(dāng)h=h₀時(shí)加速度為：a=0
則有：mg=BI′L，
根據(jù)閉合電路歐姆定律得：I′=$\frac{E^'}{R+r}$，
又E′=BLv
解得：v=$\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$．
（3）由能量守恒得：mgh₀-Q₀=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
又Q=$\frac{R}{R+r}{Q_0}$
解得：$Q=[mg{h_0}-\frac{{{m^3}{g^2}{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}]\frac{R}{R+r}$．
答：（1）金屬桿剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₀為$\frac{2mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）金屬桿下落了高度h₀時(shí)的速度v為$\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$．
（3）在電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為$[mg{h}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}]\frac{R}{R+r}$．

點(diǎn)評 本題要根據(jù)圖象的信息讀出加速度和桿的運(yùn)動狀態(tài)，由牛頓第二定律、安培力、法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、能量守恒等多個(gè)知識綜合求解，綜合較強(qiáng)．