Question

7．如圖所示，光滑且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距L=0.2m，電阻R₁=0.4Ω，導(dǎo)軌上靜止放置一質(zhì)量m=0.1kg、電阻R₂=0.1Ω的金屬桿，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.5T的勻強(qiáng)磁場中，磁場的方向豎直向下，現(xiàn)用一外力F沿水平方向拉桿，使之由靜止開始運(yùn)動，最終以8m/s的速度作勻速直線運(yùn)動．若此時(shí)閉合開關(guān)S，釋放的α粒子經(jīng)加速電場C加速后從a孔對著圓心O進(jìn)入半徑r=$\sqrt{3}$m的固定圓筒中（筒壁上的小孔a只能容一個(gè)粒子通過），圓筒內(nèi)有垂直水平面向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂的勻強(qiáng)磁場α粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞均無電荷遷移，也無機(jī)械能損失．（α粒子質(zhì)量m_α≈6.4×10^-27kg，電荷量q_α=3.2×10^-19 C）．求：
（1）ab桿做勻速直線運(yùn)動過程中，外力F的功率；
（2）若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從a孔背離圓心射出，忽略α粒子進(jìn)入加速電場的初速度，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂．

Answer 1

分析 （1）ab桿做勻速直線運(yùn)動過程中，外力F與安培力二力平衡，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，即可求得外力的大小，由P=Fv求出功率．
（2）根據(jù)歐姆定律求出加速電場的電壓，由動能定理求出α粒子進(jìn)入磁場的速度．若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從a孔背離圓心射出，則粒子與圓筒的碰撞點(diǎn)和a點(diǎn)將圓筒6等分，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂．

解答 解：（1）當(dāng)ab桿勻速運(yùn)動時(shí)，F(xiàn)_外=F_B   ①
F_B=B₁IL   ②
$I=\frac{E}{{{R_1}+{R_2}}}$ ③
E=B₁L v     ④
P=F_外v       ⑤
聯(lián)立①～⑤得$P=\frac{{B_1^2{L^2}{v^2}}}{{{R_1}+{R_2}}}$ ⑥
將已知條件代入上式得P=1.28W
（2）此時(shí)回路電流強(qiáng)度為 $I=\frac{E}{{{R_1}+{R_2}}}$
加速電場的電壓為 U=IR₁ 
根據(jù)動能定理：q_αU=$\frac{1}{2}{m_α}{v^2}$-0
α粒子從a孔進(jìn)入磁場的速度 v=$\sqrt{\frac{{2{q_α}U}}{m_α}}$
由題意知：α粒子與圓筒壁碰撞5次后從a孔離開磁場，
由幾何關(guān)系求得∠d O b=60°
軌跡半徑R'=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}r$=1.0 m
又 ${q_α}v{B_2}={m_α}\frac{{v_{\;}^2}}{R'}$
故得：B₂=1.6×10^-4 T
答：
（1）ab桿做勻速直線運(yùn)動過程中，外力F的功率為1.28W；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為1.6×10^-4T．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路知識的綜合，求解安培力，畫出磁場中軌跡，由幾何知識求軌跡半徑是解題的兩個(gè)關(guān)鍵．