Question

6．如圖所示，一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)以大小v₀=4m/s的初速度沿切線進(jìn)入光滑圓軌道AB，經(jīng)圓弧軌道后滑上與B點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，圓弧軌道B端切線水平．已知長木板的質(zhì)量M=1kg，A、B兩點(diǎn)的豎直高度為h=1.0m，AO與BO之間夾角θ=37°，小物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物塊滑動至B點(diǎn)瞬時，對圓弧軌道B點(diǎn)的壓力；
（2）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理計(jì)算B點(diǎn)速度，在B點(diǎn)，軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動的向心力，據(jù)此求解即可；
（2）根據(jù)物塊在長木板上滑動時，物塊的位移-長木板的位移應(yīng)該小于等于長木板的長度這一臨界條件展開討論即可；

解答 解：（1）小物塊沿圓弧軌道從A點(diǎn)到B點(diǎn)應(yīng)用動能定理：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
由數(shù)學(xué)關(guān)系有：h=R（1-cosθ）
設(shè)在B點(diǎn)圓軌道對小物塊支持力大小為F，
則有：$F-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
故：F=17.2N
由牛頓第三定律可知，小物塊對圓軌道的壓力大小為17.2N，方向豎直向下 
（2）小物塊在木板上先減速，木板加速，直到獲得共同速度v，然后一起減速至0．設(shè)獲得共同速度之前運(yùn)動時間為t₁，物塊和木板加速度大小分別為a₁、a₂，各自運(yùn)動距離為${x}_{1}^{\;}$、${x}_{2}^{\;}$．對物塊：
${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$
  $v={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
 ${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}$
對木板：${μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$
$v={a}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}$ 
${x}_{2}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}$
木板最小長度$L={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}$
綜合以上各式：L=3m；${t}_{1}^{\;}=1s$
答：（1）小物塊滑動至B點(diǎn)瞬時，對圓弧軌道B點(diǎn)的壓力為17.2N；
（2）長木板至少為3m，才能保證小物塊不滑出長木板

點(diǎn)評 本題是多過程運(yùn)動的題目，要對每個物體分別分析其運(yùn)動情況，利用運(yùn)動學(xué)的基本公式，再根據(jù)速度和位移的關(guān)系及牛頓第二定律求解．本題運(yùn)動過程較為復(fù)雜，難度較大．