Question

如圖所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30°，物體以速率v繞圓錐體軸線做水平勻速圓周運動：
（1）當v₁=

gL 6

時，求繩對物體的拉力；
（2）當v₂=

3gL 2

時，求繩對物體的拉力．

Answer 1

分析：（1）物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出臨界速度．當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．
（2）當速度大于臨界速度時，小球離開圓錐面，由重力和繩的拉力的合力提供向心力，再由牛頓第二定律求解．

解答：解：臨界條件為圓錐體對小球的支持力 F_N=0  ①
由牛頓第二定律可列出方程：
  F_n=

mv2

r

=

m v 2 0

Lsin30°

又 F_n=mgtan30°  ②
解得：v₀=

3 gL 6

 ③
（1）因v₁＜v₀，F_N≠0，對小球進行受力分析，根據牛頓第二定律
  Fsinθ-F_Ncosθ=

m v 2 1

Lsinθ

  ④
  Fcosθ+F_Nsinθ-mg=0  ⑤
解得：F=

(1+3 3 )mg

6

  ⑥
（2）因v₂＞v₀，物體離開斜面，對小球受力分析如圖所示，設繩與豎直方向的夾角為α．
由牛頓第二定律得
  Fsinα=

m v 2 2

Lsinα

  ⑦
  Fcosα-mg=0  ⑧
解得：F=2mg  ⑨
答：（1）當v₁=

gL 6

時，繩對物體的拉力為

(1+3 3 )mg

6

；（2）當v₂=

3gL 2

時，繩對物體的拉力為2mg．

點評：解決本題的關鍵找出物體的臨界情況，正確分析受力，確定向心力的來源，并能夠熟練運用牛頓第二定律求解．