Question

質(zhì)量為m的登月器與航天飛機(jī)連接在一起，隨航天飛機(jī)繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們運(yùn)行到軌道的A點(diǎn)時(shí)，登月器被彈離, 航天飛機(jī)速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點(diǎn)，在月球表面逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速起動(dòng)仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)A與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接。已知月球表面的重力加速度為g_月。科學(xué)研究表明，天體在橢圓軌道
上運(yùn)行的周期的平方與軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。試求：
（1）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后,航天飛機(jī)的橢圓軌道長(zhǎng)軸為8R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是多少？

Answer 1

（1）設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T(mén)，因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)滿(mǎn)足-------------①
同時(shí)月球表面的物體所受重力和引力的關(guān)系滿(mǎn)足--------------②
聯(lián)立①②得 --------------③ （4分）
（2）設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T1，航天飛機(jī)在大橢圓軌道運(yùn)行的周期是T2。對(duì)登月器依題意有：------④
解得-----⑤（2分）
對(duì)航天飛機(jī)依題意有：-----------⑥
解得 ------⑦（2分）
為使經(jīng)登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿(mǎn)足：t="nT2-T1" （其中，n=1、2、3、）-----⑧
聯(lián)立③⑤⑦⑧得 （其中，n=1、2、3、） （4分）

略