Question

17．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的矩形金屬線圈，邊長L₁=0.40m、L₂=0.25m，其匝數(shù)n=100匝，總電阻r=1.0Ω，線圈的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過電刷和R=3.0Ω的定值電阻相連接．線圈所在空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，在外力驅(qū)動下線圈繞豎直固定中心軸O₁O₂勻速轉(zhuǎn)動，角速度ω=2.0rad/s．求：
（1）電阻R的電功率；
（2）從線圈通過中性面（即線圈平面與磁場方向垂直的位置）開始計時，經(jīng)過$\frac{1}{2}$周期通過電阻R的電荷量；
（3）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（4）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，外力至少需要做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E=nBSω求出感應(yīng)電動勢的最大值，從而求出感應(yīng)電動勢的有效值，根據(jù)歐姆定律求出感應(yīng)電流的有效值，從而根據(jù)P=I²R求出電阻R消耗的電功率．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合閉合電路歐姆定律求出平均感應(yīng)電流，根據(jù)q=$\overline{I}△t$求出通過電阻R的電荷量．
（3）根據(jù)焦耳定律可求得轉(zhuǎn)動一周過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（4）線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中外力做的功，完全給電阻用來發(fā)熱，因此由有效值來計算在一周發(fā)熱量．

解答 解：（1）感應(yīng)電動勢最大值E_m=nBSω=100×1×0.4×0.25×2=20V
電流有效值$I=\frac{{{E_{有效}}}}{R+r}=\frac{E_m}{{\sqrt{2}（R+r）}}=\frac{20}{{\sqrt{2}（3+1）}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$A
電阻R的電功率P=I²R=37.5W
（2）平均感應(yīng)電動勢$\overline{E}$=$n\frac{△Φ}{△t}$
平均感應(yīng)電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通過定值電阻R的電荷量$q=\overline{I}•△t=n\frac{△Φ}{R+r}$
轉(zhuǎn)動$\frac{1}{2}$周期磁通量的變化量△Φ=2BS
轉(zhuǎn)動$\frac{1}{2}$周期時通過電阻R的電荷量：q=$n\frac{2BS}{R+r}$=100×$\frac{2×1×0.4×0.25}{3+1}$=5.0C
（3）電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱${Q_R}={I^2}RT=37.5π$J=118J
（4）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，外力至少需要做的功，等于系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱：$W={Q_總}={I^2}（R+r）T=50π$J=157J
答：（1）電阻R的電功率37.5W；
（2）從線圈通過中性面（即線圈平面與磁場方向垂直的位置）開始計時，經(jīng)過$\frac{1}{2}$周期通過電阻R的電荷量為5C；
（3）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為118J；
（4）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，外力至少需要做的功157J．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握感應(yīng)電動勢的平均值、最大值、有效值和瞬時值的區(qū)別以及應(yīng)用．注意求電阻發(fā)熱，則必須將交流電的有效值代入計算，求電量用電流的平均值．