Question

8．如圖所示，兩根相距L=0.20m的平行光滑金屬長(zhǎng)導(dǎo)軌與水平方向成θ=30°角固定，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B=0.20T，方向垂直兩導(dǎo)軌組成的平面，兩根金屬棒ab、cd互相平行且始終與導(dǎo)軌垂直地放在導(dǎo)軌上，它們的質(zhì)量分別為m₁=0.01kg，m₂=0.02kg，兩棒電阻均為R=0.20Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，取g=10m/s²．
（1）要使cd棒靜止，ab應(yīng)怎樣運(yùn)動(dòng)？
（2）當(dāng)ab棒在平行于導(dǎo)軌平面斜向上的外力F作用下，以v₁=15m/s速度沿斜面勻速向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求金屬棒cd運(yùn)動(dòng)的最大速度及外力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）要使cd靜止，受力應(yīng)平衡，對(duì)cd棒，根據(jù)平衡條件和安培力公式得到電路中電流，再對(duì)ab棒研究，根據(jù)安培力與速度的關(guān)系式求解ab運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）釋放cd棒后，cd棒沿導(dǎo)軌平面向下做加速運(yùn)動(dòng)，回路abdc中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸增大，感應(yīng)電流逐漸增大，cd所受的安培力增大，合力減小，加速度減小，當(dāng)合力減小到零時(shí)，cd棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大，回路中的電流也達(dá)到最大．分別以ab和cd為研究對(duì)象，由平衡條件求出最大電流．此時(shí)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ab與cd兩棒所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和，由歐姆定律和公式電動(dòng)勢(shì)結(jié)合求解最大速度．

解答 解：（1）對(duì)cd棒，有  ILB=m₂gsinθ                        
對(duì)ab棒，有 $I=\frac{BLv}{2R}$，$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}={m_2}gsinθ$，代入得：$\frac{{{{0.2}^2}×{{0.2}^2}v}}{2×0.2}=0.02×10×\frac{1}{2}$
所以解得ab棒運(yùn)動(dòng)速度大小為v=25m/s，速度方向沿斜面向上．
（2）ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E₁=BLv₁=0.2×0.2×15V=0.6V
設(shè)cd棒運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，cd棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E₂=BLv₂
由于ab棒速度v₁＜25m/s，則cd棒沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，電路中的電流 ${I_2}=\frac{{{E_1}+{E_2}}}{2R}=\frac{{BL（{v_1}+{v_2}）}}{2R}=\frac{{0.2×0.2（15+{v_2}）}}{2×0.2}=\frac{{15+{v_2}}}{10}$
對(duì)cd棒，在沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的最大速度時(shí)，有  I₂LB=m₂gsinθ
代入得 $\frac{{15+{v_2}}}{10}$×0.2×0.2=0.02×10×0.5，得cd棒的最大速度 v₂=10m/s
此時(shí)，對(duì)ab棒，有  F-mgsinθ-I₂LB=0                 
其中I₂=$\frac{{15+{v_2}}}{10}$=$\frac{15+10}{10}=2.5$A
外力  F=m₁gsinθ+I₂LB=0.01×10×0.5+2.5×0.2×0.2=0.15N        
答：
（1）要使cd棒靜止，ab應(yīng)沿斜面向上以25m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)．
（2）金屬棒cd運(yùn)動(dòng)的最大速度是10m/s，外力F的大小為0.15N．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，綜合運(yùn)用電磁學(xué)知識(shí)和力平衡知識(shí)．對(duì)于第（2）問是兩棒切割磁感線類型，要注意回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和．