Question

行星繞太陽沿橢圓軌道運行,它的近日點到太陽的距離為r,遠日點到太陽的距離為R.若行星經(jīng)過近日點的速度為v,求該行星經(jīng)過遠日點時的速度v′.

Answer 1

解析：不妨作出行星繞太陽沿橢圓軌道運行的示意圖，結(jié)合開普勒第二定律與數(shù)學幾何知識求解.

    如圖5-1-3所示,分別以近日點A和遠日點B為中心(太陽在C點)取一個極短時間Δt,行星與太陽連線掃過的面積如圖中畫有斜線的兩個扇形的面積.由于Δt極短,因此可把這段時間內(nèi)的行星運動看作勻速率運動,弧長 和B₁B₂可以用相應的弦長A₁A₂和代替,則

圖5-1-3

A₁A₂≈=vΔt,

B₁B₂≈=v′Δt

兩個扇形的面積分別為：

S_A1A2C=AC·A₁A₂=rvΔt

S_B1B2C=BC·B₁B₂=Rv′Δt

根據(jù)開普勒第二定律有：S_A1A2C=S_B1B2C，

即rvΔt=Rv′Δt

則行星經(jīng)遠日點B時的速度大小為v′=v.