Question

如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)L₁=0.9m、寬L₂=0.6m的光滑斜面體，其傾角θ=30°．有一長(zhǎng)度L=0.4m的輕質(zhì)繩一端固定在距斜面頂點(diǎn)A為L(zhǎng)=0.4m斜面邊緣的O點(diǎn)上，另一端系一質(zhì)量m=1kg的小球．現(xiàn)把小球拉至頂點(diǎn)A處，以v₀=1m/s的初速度沿斜面頂邊緣水平拋出．（g取10m/s²）
（1）剛開(kāi)始小球做什么運(yùn)動(dòng)？并說(shuō)明理由．
（2）求小球運(yùn)動(dòng)至斜面邊緣B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力F_T．
（3）若小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)繩子剛好斷了，求小球從斜面上飛出后落地點(diǎn)與最初拋出點(diǎn)在地面上投影點(diǎn)的距離L₃．

Answer 1

分析：（1）小球剛開(kāi)始做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，并說(shuō)明小球的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）小球做類平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，分析從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到繩子繃緊的時(shí)間，求出此時(shí)小球的速度．在拉直瞬間，由于繩子不可伸長(zhǎng)，小球沿繩子方向的速度瞬間變?yōu)榱悖�此后小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，求出小球運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度．小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)由繩子的拉力與重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球運(yùn)動(dòng)至斜面邊緣B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力F_T．
（3）若小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)繩子剛好斷了，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求出時(shí)間，再求出水平位移，由幾何知識(shí)求出小球從斜面上飛出后落地點(diǎn)與最初拋出點(diǎn)在地面上投影點(diǎn)的距離L₃．

解答：解：（1）小球沿斜面向下的加速度a=

mgsinθ

m

=5m/s²
其在斜面上運(yùn)動(dòng)可等效看作在g′=a=5m/s²的豎直平面上的曲線運(yùn)動(dòng)
由于小球剛拋出的速度v₀＜

g′L

=

2

m/s，故其開(kāi)始做類平拋運(yùn)動(dòng)．
（2）如圖所示，設(shè)它運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒至與水平線的夾角為α?xí)r，繩子剛好拉直．由平拋運(yùn)動(dòng)公式有：
  L+Lsinα=

1

2

g′t 2①
  Lcosα=v₀t②
①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：α=0°，t=0.4s
α=0°，說(shuō)明小球拋至繩子在水平線時(shí)剛好拉直．在拉直瞬間，由于繩子不可伸長(zhǎng)，故小球水平速度瞬間變?yōu)榱�，只存在沿斜面向下的速度v_y
  v_y=g′t=5×0.4m/s=2m/s
以后小球在繩子束縛下沿斜面向下做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)至B點(diǎn)時(shí)的速度為v₂．根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
   mg′L+

1

2

mv_y²=

1

2

mv₂²
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=

8

m/s
根據(jù)牛頓第二定律，有：F T-mg′=m

v 2 2

L

代入數(shù)據(jù)解得：F_T=25N
（3）繩斷后小球以v₂做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意知其高度h′=0.05m，設(shè)至落地所需時(shí)間為t′，
根據(jù)h=

1

2

gt′ 2解得：t′=0.1s，水平位移x=v₂t′
而本題斜面有效長(zhǎng)度在地面投影長(zhǎng)度L₄=v₂t′=0.4

3

m
所求的距離L 3=

x 2+L 4 2

=

0.56

m(或≈0.75m)
答：
（1）剛開(kāi)始小球做類平拋運(yùn)動(dòng)．
（2）小球運(yùn)動(dòng)至斜面邊緣B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力F_T=25N．
（3）若小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)繩子剛好斷了，小球從斜面上飛出后落地點(diǎn)與最初拋出點(diǎn)在地面上投影點(diǎn)的距離L₃≈0.75m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于繩子拉直是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，前后速度有突變，抓住繩子不可伸長(zhǎng)，繃緊瞬間沿繩子方向的分速度突然減為零．