Question

1．如圖所示，半徑R=0.80m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直固定，過(guò)最低點(diǎn)的半徑OC處于豎直位置，其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與C等高，下部有一小孔，距頂端h=1m，轉(zhuǎn)筒的軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開始時(shí)小孔也在這一平面內(nèi)的圖示位置．現(xiàn)使一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點(diǎn)由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點(diǎn)但不反彈，在瞬間碰撞過(guò)程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，沿切線方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)觸動(dòng)光電裝置，使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，且小物塊最終正好進(jìn)入小孔．已知A、B到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角均為θ=30°，不計(jì)空氣阻力，g取l0m/s²，求：
（1）小物塊剛下落到B點(diǎn)時(shí)，在與B點(diǎn)碰撞前的瞬時(shí)速度的大��；
（2）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力的大��；
（3）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L；
（4）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）由圖可知三角形AB0是等邊三角形，所以AB的長(zhǎng)度為R=0.8m，小球下落后做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)位移速度公式即可求解；
（2）先根據(jù)幾何關(guān)系求得碰后小球速度，從B到C得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理求得到達(dá)C的速度，根據(jù)向心力公式即可求解；
（3）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解；
（4）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．

解答 解：（1）由圖可知三角形AB0是等邊三角形，所以AB的長(zhǎng)度為 R=0.8m，
小球下落后做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)位移速度公式得：
 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×0.8×10}$m/s=4m/s
（2）在瞬間碰撞過(guò)程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，沿切線方向的分速度不變．
所以碰后小球速度為：v_B′=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s
從B到C得運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv′_B²=mgR（1-sin30°）
解得：v_C=2$\sqrt{5}$m/s
在C點(diǎn)根據(jù)向心力公式得：m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=F-mg
代入數(shù)據(jù)解得：F=3.5N
（3）小球從C點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s
水平方向：x=v_Ct=2m
所以L=x+r=2.2m
（4）小物塊最終正好進(jìn)入小孔，所以在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，
即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$
解得：ω=2$\sqrt{5}$πn（n=1，2，3…）
答：
（1）小物塊剛下落到B點(diǎn)時(shí)，在與B點(diǎn)碰撞前的瞬時(shí)速度的大小為4m/s；
（2）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力的大小為3.5N；
（3）轉(zhuǎn)筒軸線距C點(diǎn)的距離L為2.2m；
（4）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為2$\sqrt{5}$πn（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，一方面要掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，另一方面要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的周期性即重復(fù)性，確定時(shí)間的通項(xiàng)．