Question

8．計(jì)劃發(fā)射一顆距離地面高度為地球半徑h=（$\sqrt{2}$-1）R₀的圓形軌道地球衛(wèi)星．（R₀為地球半徑，衛(wèi)星軌道與赤道平面重合．已知地球表面重力加速度為g）．
（1）求出衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)周期T；
（2）設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期T₀，該衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，則在赤道上某一點(diǎn)的人能連續(xù)觀察的該衛(wèi)星的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）利用萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式，即可求解衛(wèi)星的周期T．
（2）當(dāng)衛(wèi)星與觀察者的連線與觀察者所在的地球的半徑垂直時(shí)觀察者開(kāi)始看到衛(wèi)星，當(dāng)衛(wèi)星與人的連線與人所在的地球的半徑垂直時(shí)人對(duì)衛(wèi)星的觀察結(jié)束，
根據(jù)幾何關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則有：
   G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$•（R₀+h）
在地球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
又據(jù)題有 h=（$\sqrt{2}$-1）R₀
故聯(lián)立以上三式解得：T=2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$
（2）設(shè)人在B₁位置剛好看見(jiàn)衛(wèi)星出現(xiàn)在A₁位置，最后在B₂位置看到衛(wèi)星從A₂位置消失，OA₁=$\sqrt{2}$OB₁
設(shè)∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=θ
則cosθ=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{2}$，所以θ=$\frac{π}{4}$ 
設(shè)人從B₁位置到B₂位置的時(shí)間為t，則人轉(zhuǎn)過(guò)的角度為$\frac{t}{{T}_{0}}$•2π，衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度為$\frac{t}{T}$•2π
故有2×$\frac{π}{4}$+$\frac{t}{{T}_{0}}$•2π=$\frac{t}{T}$•2π
將衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)周期T=2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$，代入上式可得
 t=$\frac{\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}}{2（{T}_{0}\sqrt{g}-2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}）}$
答：
（1）衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)周期是2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$．
（2）設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期T₀，該衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，則在赤道上某一點(diǎn)的人能連續(xù)觀察的該衛(wèi)星的時(shí)間是$\frac{\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}}{2（{T}_{0}\sqrt{g}-2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}）}$．

點(diǎn)評(píng) 在地球的質(zhì)量不知而地球表面的重力加速度已知時(shí)，要用黃金代換公式表示地球的質(zhì)量，這是我們經(jīng)常使用的方法，要注意掌握．