Question

在足夠大的真空空間中，存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，若用絕緣細(xì)線將質(zhì)量為m的帶正電的小球懸掛在電場(chǎng)中，靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向夾角θ=37°．現(xiàn)將該小球從電場(chǎng)的某點(diǎn)豎直向上拋出，拋出的初速度大小為υ₀，如圖所示．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小及方向
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的電勢(shì)能變化量
（3）小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速率．

Answer 1

分析：（1）靜止時(shí)受重力，電場(chǎng)力，繩的拉力三力平衡，由數(shù)學(xué)關(guān)系可得電場(chǎng)力．
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程中，由豎直方向的勻減速運(yùn)動(dòng)可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在由水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)可得小球沿電場(chǎng)線方向的位移，進(jìn)而可得電場(chǎng)力做的功，電場(chǎng)力做功電勢(shì)能變化，可確定電勢(shì)能變化量．
（3）撤去細(xì)線，現(xiàn)將該小球從電場(chǎng)中的A點(diǎn)豎直向上拋出，帶電小球在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中豎直向上拋出，小球在豎直方向受到重力，在水平方向受到電場(chǎng)力，從而做曲線運(yùn)動(dòng)，因此可將曲線分解成豎直方向與水平方向的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)．利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出小球速率最小值；

解答：解：
（1）靜止時(shí)受重力，電場(chǎng)力，繩的拉力三力平衡，可得電場(chǎng)力等于：
 F=mgtan37°=

3

4

mg
電場(chǎng)力的方向水平向右．
（2）小球沿豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度為v_y，可得：
v_y=v₀-gt
解得小球上升到最高點(diǎn)的時(shí)間：
t=

v0

g

沿水平方向做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a_x，由牛頓第二定律得：
a_x=

F

m

=

3

4

mg
此過(guò)程小球沿電場(chǎng)方向位移為：
s_x=

1

2

a_xt²=

3v0

8g

電場(chǎng)力做功：
W=Fs_x=

9

32

mv02
電場(chǎng)力做正功電勢(shì)能減少，故小球上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能減少

9

32

mv02
（3）水平速度：
v_x=a_xt
豎直速度：
v_y=v₀-gt  
小球的速度：；
v=

vx2+vy2

由以上各式得出：

25

16

g²t²-2v₀gt+（v02-v²）=0
解得當(dāng)t=

16v0

25g

時(shí)，v有最小值：
v_min=

3

5

v₀
或者：
小球在電場(chǎng)中靜止時(shí)有，重力與電場(chǎng)力的合力與細(xì)線的拉力是一對(duì)平衡力，力的合成如圖所示．當(dāng)小球以速度υ₀豎直上拋時(shí)，將其速度分解到合力力的方向及與合外力垂直的方向，由圖可知，當(dāng)合外力使υ_F減速為零時(shí)，小球具有最小的速度為υ_min=υ₀sinθ=

3

5

v0．
答：
（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小為

3

4

mg，方向水平向右．
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的電勢(shì)能減少

9

32

mv02．
（3）小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速率為

3

5

v0．

點(diǎn)評(píng)：考查了運(yùn)動(dòng)的合成與分解研究的方法，并讓學(xué)生掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理等規(guī)律．同時(shí)讓學(xué)生形成如何處理曲線的方法．如果將速度按照合力方向和垂直合力方向分解，當(dāng)沿合力方向的速度減為零時(shí)其速度達(dá)到最小值，也可以解出最小速度．運(yùn)用速度矢量合成的三角形法則也可求解．