Question

4．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腶倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼腷倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{a}}$T
• B． $\sqrt{\frac{a^3}}$T
• C． $\sqrt{\frac{b^3}{a}}$T
• D． $\sqrt{\frac{b^3}{a^2}}$T

Answer 1

分析 抓住雙星模型轉(zhuǎn)動(dòng)的周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力求出周期與總質(zhì)量和兩星之間距離的關(guān)系，從而得出周期的變化．

解答 解：設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為L．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同．
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁R₁$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂R₂$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
R₁十R₂=L，m₁+m₂=M
解得：T=$\sqrt{\frac{{{4π}^{2}L}^{3}}{GM}}$
經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腶倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼腷倍，圓周運(yùn)動(dòng)的周期平方為：T′=$\sqrt{\frac{^{3}}{a}}$T
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道雙星模型靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度相等，周期相等，結(jié)合萬有引力提供向心力進(jìn)行求解．