Question

“神舟”六號(hào)飛船完成了預(yù)定空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)后，返回艙于2005年10月17日4時(shí)11分開(kāi)始從太空向地球表面按預(yù)定軌道返回。在離地l0km的高度返回艙打開(kāi)阻力降落傘減速下降，返回艙在這一過(guò)程中所受空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)（空氣阻力系數(shù)）為k。已知返回艙的總質(zhì)量M =3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認(rèn)為豎直降落。從某時(shí)刻起開(kāi)始計(jì)時(shí)，返回艙的運(yùn)動(dòng)v — t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點(diǎn)的切線，切線交于橫軸于B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 10，0 ），CD是AD的漸近線，亦是平行于橫軸的直線，交縱軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，6 ）。請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（取g=10 m/ s²）

   （1）在初始時(shí)刻v₀ = 160m/s時(shí)，它的加速度多大?

   （2）推證空氣阻力系數(shù)k的表達(dá)式并算出其數(shù)值；

   （3）返回艙在距地高度h = 10m時(shí), 飛船底部的4個(gè)反推力小火箭點(diǎn)火工作, 使其速度由6m/s迅速減至1m/s后落在地面上。 若忽略燃料質(zhì)量的減少對(duì)返回艙總質(zhì)量的影響, 并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化, 試估算每支小火箭的平均推力（計(jì)算結(jié)果取兩位有效數(shù)字）。

Answer 1

（1）16m/s²（2）1 . 88 kg / m   （3）1.3×10³ N

解析:

⑴ 根據(jù)速度圖象可知, 在初始v₀ =160m/s時(shí)，過(guò)A點(diǎn)切線的斜率即為此時(shí)的加速度，設(shè)為a₁, 其大小為

a₁ = = m/s² = 16m/s²                         --------------（4分）

    ⑵ 由圖知, 返回艙的v—t圖的斜率逐漸減小， 最后是以v₁ =6m/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)返回艙所受空氣浮力為f，在t =0時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律則有：

        Kv₀² + f–Mg = Ma₁．    ①                          --------------（2分）

速度為 v₁ = 6 m/s 時(shí)，返回艙受力平衡，即有：

        Kv₁² + f–Mg = 0        ②                         -------------- （2分）

      由①、② 兩式解得：k =                       --------------（2分）

      代入數(shù)值得：k = kg / m = 1 . 88 kg / m         --------------（2分）

⑶由題意知，在距地高度h = 10m前，返回艙已處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力已持續(xù)為0。故返回艙在著地減速期間的加速度實(shí)際由4個(gè)小火箭的反推力共同產(chǎn)生。設(shè)每支小火箭的平均推力為F₀ , 反推加速度大小為a₂, 著地速度為v₂，根據(jù)牛頓第二定律

4F₀ = M a₂                        ③         --------------（2分）

( 或  Kv₁² + f–Mg+ 4F₀ = M a₂  )

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知：   v₂² ―v₁² =–2 a₂ h            ④         --------------（2分）

由③、④兩式解得：

     F₀ = = N = 1.3×10³ N    --------------（2分）