Question

13．據(jù)最新消息報(bào)到，“嫦娥四號”將于2020年前發(fā)射，發(fā)射成功后“嫦娥四號”探測器將在環(huán)月運(yùn)行軌道上運(yùn)動(dòng)，可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，探測器質(zhì)量為m，引力常量為G，探測器環(huán)月運(yùn)行時(shí)只考慮月球的引力提供向心力，求：
（1）探測器繞月運(yùn)行的線速度的大小和向心加速度的大小
（2）月球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與周期的關(guān)系求解線速度的大小；
根據(jù)向心加速度與周期半徑的關(guān)系求解向心加速度的大��；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求解月球的質(zhì)量M．

解答 解：（1）已知軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)線速度與周期的關(guān)系知探測器繞月運(yùn)行的速度的大小為：
v=$\frac{2πr}{T}$
（2）已知軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，根據(jù)向心加速度與周期的關(guān)系知探測器繞月運(yùn)行的加速度的大小為：
a=$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
（3）設(shè)月球質(zhì)量為M，嫦娥三號探測器的質(zhì)量為m，探測器運(yùn)行時(shí)月球?qū)λ�的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
可得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}_{\;}^{3}}{{GT}_{\;}^{2}}$
答：（1）探測器繞月運(yùn)行的線速度的大小是$\frac{2πr}{T}$，向心加速度的大小是$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}r}_{\;}^{3}}{{GT}_{\;}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題要求掌握線速度與周期的關(guān)系、向心加速度與周期的關(guān)系，知道萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，并且能夠根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．